湖南省雅礼中学2009届高三第七次月考
数 学（理工农医类）
命题：高三数学组 审卷：高三数学组
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或
P（A?B）=P（A）?P（B） 母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
第I卷(共40分)
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14题第一空２分，第二空3分，第15题第一空3分，第二空2分），共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
10．已知，，且，则向量与向量的夹角是．
11．设，要使函数在内连续，则的值为．
12．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(0C)
18
13
10
-1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程中．现预测当气温为时，用电量的度数约为68．
13．底面边长为，侧棱长为2的正三棱锥ABCD内接于球O，则球O的表面积为．
14．已知数列：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，，……．
（i）对应的项数为；（ii）前2009项的和为．
15．已知，满足，且目标函数的最大值为7，最小值为4，
则（i）；（ii）的取值范围为．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知sin(＋3a) sin(－3a)＝，a∈(0， )，求（１）求角；（２）求( －)sin4α的值．
解：（１）
，
即，又6a∈(0，)，∴，即．…………………………6分
（２）（－）
sin4α=
．………………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
已知斜三棱柱，，
，在底面上的射影恰
为的中点，又知．
（１）求证：平面；
（２）求二面角的大小．
解：（１）取的中点，则，因为，
所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，，由，知，
又，从而平面． …………………………………………6分
（２）由，得．设平面的法向量为，
，，所以 ，
设，则．
再设平面的法向量为，，，
所以 ，设，则．
根据法向量的方向，可知二面角的大小为． ……………12分
几何法（略）
18．（本小题满分12分）
在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．假设：答对题（），就得到奖金元，且答对题的概率为（），并且两次作答不会相互影响．
（１）当元，，元，时，某人选择先回答题1，设获得奖金为，求的分布列和．
（２）若，，若答题人无论先回答哪个问题，答题人可能得到的奖金一样多，求此时的值．
解：（１）分布列：
0
2000
3000
0.4
0.12
0.48
． ………………………………6分（２）设选择先回答题1，得到的奖金为；选择先回答题2，得到的奖金为，
则有，．根据题意可知：
，
当时，（负号舍去）．当时，，
，先答题1或题2可能得到的奖金一样多．………………………………12分
19．（本小题满分13分）
已知函数．（１）求的单调区间；（２）若不等式
恒成立，求实数的取值组成的集合．
解：（１）由已知得．因为，
所以当．
故区间为的单调递减区间，区间为的单调递增区间．……5分
（２）①当时，．
令，则．
由（１）知当时，有，所以，
即得在上为增函数，所以，
所以． ………………………………………………………………………………9分
②当时，．
由①可知，当时，为增函数，所以，
所以．
综合以上得．故实数的取值组成的集合为． …………………………13分
20．（本小题满分13分）
是,且．
（１）求此椭圆的方程；
（２）设直线和直线的倾斜角分别
为．试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
解：（１）由已知可得，所以椭圆方程为． ……4分
（２）是定值．理由如下：
由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直线的斜率．…6分
设直线的方程为,，
即，且 ． ………………………9分
． …………………………………………10分
又因为，
＝
．
又 是定值．…………………………13分
21．（本小题满分13分）
定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．已知无穷等比数列的首项和公比均为．
（１）试求无穷等比子数列（）各项的和；
（２）已知数列的一个无穷等比子数列各项的和为，求这个子数列的通项公式；
（３）证明：在数列的所有子数列中，不存在两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和相等．
解：（１）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为：
． ……………………………………………………………………3分
（２）解法一：设子数列的首项为，公比为，由条件得：，
则，即 ， ．
而 ，则 ．
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项．公比均为，
其通项公式为，． ………………………………………………7分
解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为．
由………… ①
又若，则对每一，都有………… ②
从①、②得；则；
因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项．公比均为无穷等比子数列，通项公式为，． …………………………………………7分
（３）假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和相等．设这两个
子数列的首项与公比分别为和，其中且或，则………… ①
若且，则①，矛盾；若且，则①
，矛盾；故必有且，不妨设，则
．
①………… ②
②
或
，两个等式的左,右端的奇偶性均矛盾．
故不存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使得它们的各项和相等． ………13分