甘肃省皋兰一中2009届高三5月份模拟考试(数学)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.如果复数,则的展开式(按的升幂排列)的第5项是( )
A .35 B. C. D.
3.已知为偶函数,且,当时,,若则
( )
A. B. C. D.
4.已知,则下列结论中正确的是( )
A.函数的周期为 B.函数的最小值为
C.将的图象向左平移单位后得的图象
D.将的图象向右平移单位后得的图象
5.(理科)设斜率为的直线与椭圆交于不同的两点。且这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
(文科)若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值( )
A.4 B. C.2 D.
6.在样本的频率分布直方图中,共有个小长方形,若其中一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的四分之一,样本容量为,则该小长方形这一组的频数为( )
A.32 B.
7. 已知函数在上单调递减,那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如右图所示的几何体ABCDEF中,ABCD是平行四边形且AE∥CF,
六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是( )
A.36 B.28 C.39 D.20
9. 设实数满足,则有( )
A. B. C. D.
10.(理科)在平面直角坐标系中,已知点,如果动点P满足,那么的最大值是( )
A. B.1 C. D.
(文科)已知为坐标原点,点在内,且,设,则( )
A. B. C. D.
11.若条件满足则的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 已知在区间上是减函数,那么( )
A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.不等式(x-1)|x2-2x-3|≥0的解集为_________.
14.霓红灯的一个部位由七个小灯泡组成,如图:○○○○○○○,每个灯泡均可亮出红色或黄色,现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡,且相邻两个不同时亮,则一共可呈现____________种不同的变换形式.(用数字作答)
15.(理科)已知的三个顶点在同一球面上,若球心到平面的距离为1,则该球的半径
(文科)设函数= .
16.已知且关于的函数在上有极值,则的夹角范围为
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
题号
13
14
15
16
答案
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知为坐标原点,
。
⑴求的单调递增区间;
⑵若的定义域为,值域为,求的值。
18.(本小题满分12分)
从北京到西安的某三列火车正点到达的概率分别为。求:
⑴这三列火车恰有两列正点到达的概率;
⑵(文科)这三列火车至少有两列误点到达的概率。
(理科)这三列火车正点到达列数的数学期望。
19.(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥P―ABCD的底面是直角梯形,,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E。
(1)求证:;(2)求二面角的大小;
(3)求证:平面平面PAB。
20.(本题满分12分)
设是正数组成的数列,其前项和为,并且对于所有的正整数,与的等差中项等于与的等比中项。
(1) 求数列的通向公式;
(2)(文科)令,求数列的前项和。
(理科)令,求。
21. (本小题满分12分)
22. (本小题满分12分)
(理科)已知函数为实常数。
⑴若在上是单调函数,求的取值范围;
⑵当时,求的最小值;
⑶设各项均为正数的无穷数列满足,证明:。
(文科)已知函数
⑴若图像上的点处切线的斜率为,,求的极大值;
⑵若在区间上是单调减函数,求的最小值。
A;A;C;D;A;A; C;C;B;C(文)D(理);C;A
13、或; 14、80; 15、(理)(文)-2; 16、 ;
17、解:⑴
………………………………………3分
时,由得函数的递增区间为
时,由得函数的递增区间为
…………………………………………………………………………………………………………………5分
⑵
…………………………………………………………7分
时,得:(舍)
时,得
综上,………………………………………………………………………………10分
18、解:用分别表示三列火车正点到达的事件,则
⑴恰有两列火车正点到达的概率记为,则
……………………………………………6分
⑵(文科)用表示误点的列数,则至少两列误点可表示为:
……………………………………………………………………………………12分
(理科)三列火车正点的列数分别为。则
……………………………………………………………10分
…………………………12分
19.解:方法一:(I)证明:,
又平面平面ABCD,平面平面ABCD=BC,
平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中,可得
,即
在平面ABCD内的射影为AO, ……4分
(II)解:,且平面平面ABCD
平面PBC, 平面PBC,
为二面角P―DC―B的平面角 ……6分
是等边三角形即二面角P―DC―B的大小为 …8分
(III)证明:取PB的中点N,连结CN, ①
,且平面平面ABCD,平面PBC ……10分
平面PAB 平面平面PAB ②
由①、②知平面PAB…………..10分
连结DM、MN,则由MN//AB//CD,,
得四边形MNCD为平行四边形,,平面PAB.
平面PAD 平面平面PAB ……………….12分
方法二:取BC的中点O,因为是等边三角形,
由侧面底面ABCD 得底面ABCD ……1分
以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系O―xyz……2分
(I)证明:,则在直角梯形中,
在等边三角形PBC中,……3分
,即…4分
(II)解:取PC中点N,则
平面PDC,显然,且平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角 ……6分
,二面角的大小为 ……8分
(III)证明:取PA的中点M,连结DM,则M的坐标为
又 ……10分
,
即
平面PAB,平面平面PAB ……12分
20.解:Ⅰ由已知得: …………………………………………………………2分
当解得:……………………………………………………3分
当时,,带入上式得:
配方得:
所以……………………………………………………………5分
所以………………………………………………7分
Ⅱ(文科)
……………………………………………………………………………………10分
…………………………………12分
(理科)
………………………………………………………………………………9分
……………………11分
…………………………………………………………12分
22.解:⑴;
当时,;
令,该二次函数的对称轴为
当时,设,,则;
当时,要使在上是单调函数,只能为上的减函数
故函数在上满足:
或,解得。综上………4分
⑵当时,;
当;当
所以…………………………………………………4分
⑶反证法:不妨设,由⑵知
所以
所以
所以;
因为时,这与上面的结论矛盾,故
同理……………………………………………12分
(文)解:⑴
则,所以……………………………3分
;由此可知
当时,函数单调递增
当时,函数单调递减,
当时,函数取极大值………………………………………………………………6分
⑵在区间上是单调减函数,
所以在区间上恒成立,由二次函数的图像可知:
;令…………………………………………………9分
当直线经过交点时,取得最小值…………………………………12分