2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第I卷至2页,第II卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利!

第I卷

注意事项:

       1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.

       2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

       3.本卷共10小题,每小题5分,共50分.

参考公式:

       ?如果事件互斥,那么                                ?球的表面积公式

                                              球的体积公式

       ?如果事件相互独立,那么                           其中表示球的半径

                                                

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合,,,则(    )

A.          B.         C.              D.

试题详情

2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为(    )

A.2             B.3              C.4              D.5

试题详情

3.函数的反函数是(    )

A.             B.

C.                D.

试题详情

4.若等差数列的前5项和,且,则(    )

A.12            B.13            C.14            D.15

试题详情

5.设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是(    )

A.             B.

C.             D.

试题详情

6.把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是(    )

A.          B.

C.          D.

试题详情

7.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为(    )

A.          B.          C.          D.

试题详情

8.已知函数则不等式的解集为(    )

A.            B.           C.            D.

试题详情

9.设,,,则(    )

A.              B.              C.              D.

试题详情

10.设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值的集合为(    )

A.              B.             C.             D.

2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)

第Ⅱ卷

注意事项:

试题详情

1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

试题详情

2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.

试题详情

3.本卷共12小题,共100分.

试题详情

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.

11.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工           人.

试题详情

12.的二项展开式中的系数为         (用数字作答).

试题详情

13.若一个球的体积为,则它的表面积为         

试题详情

14.已知平面向量,,若,则         

试题详情

15.已知圆的圆心与点关于直线对称.直线与圆相交于两点,且,则圆的方程为            

试题详情

16.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有         种(用数字作答).

试题详情

三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知函数的最小正周期是.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求函数的最大值,并且求使取得最大值的的集合.

 

试题详情

18.(本小题满分12分)

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.

(Ⅰ)求乙投球的命中率;

(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;

(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.

 

试题详情

19.(本小题满分12分)

如图,在四棱锥中,底面是矩形.已知,,,,.

(Ⅰ)证明平面;

(Ⅱ)求异面直线与所成的角的大小;

(Ⅲ)求二面角的大小.

 

 

试题详情

20.(本小题满分12分)

已知数列中,,,且.

(Ⅰ)设,证明是等比数列;

(Ⅱ)求数列的通项公式;

(Ⅲ)若是与的等差中项,求的值,并证明:对任意的,是与的等差中项.

 

 

 

 

试题详情

21.(本小题满分14分)

设函数,其中.

(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;

(Ⅱ)若函数仅在处有极值,求的取值范围;

(Ⅲ)若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.

 

 

 

 

试题详情

22.(本小题满分14分)

已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是.

(Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(文史类)参考解答

试题详情

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.

1.A      2.D      3.A      4.B       5.C       6.C       7.B       8.A      9.D      10.B

试题详情

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分.

11.10           12.10           13.              14.

试题详情

15.              16.432

 

(1)设集合,,,则

    (A)    (B)  (C)  (D)

解析:因为,所以,选A.

(2)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为

    (A)2       (B)3       (C)4      (D)5

  解析:如图,由图象可知目标函数过点时取得最大值,,选D.

 

(3)函数()的反函数是

    (A)()    (B)()

(C)()     (D)()

解析:当时,,解得,选A.

(4)若等差数列的前5项和,且,则

(A)12       (B)13      (C)14       (D)15

解析:,所以,选B.

(5)设是两条直线,是两个平面,则的一个充分条件是

(A)    (B) 

 (C)     (D)

解析:选C,A、B、D的反例如图.

 

 

 

(6)把函数()的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是

(A),        (B),

(C),         (D),

解析:选C,

(7)设椭圆(,)的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为

(A)    (B)  (C)  (D)

解析:抛物线的焦点为,椭圆焦点在轴上,排除A、C,由排除D,选B.

(8)已知函数,则不等式的解集是

(A)     (B)   (C)    (D)

解析:依题意得,选A.

(9)设,,,则

   (A)   (B)  (C)   (D)

解析:,因为,所以,选D.

(10)设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为

(A)    (B)  (C)  (D)

解析:易得,在上单调递减,所以,故,选B.

(11)一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工________________人.

  解析:依题意知抽取超过45岁的职工为.

(12)的二项展开式中,的系数是________________(用数字作答).

试题详情

解析:,,所以系数为10.

(13)若一个球的体积为,则它的表面积为________________.

  解析:由得,所以.

(14)已知平面向量,.若,则_____________.

  解析:因为,所以.

(15)已知圆C的圆心与点关于直线对称.直线与圆C相交于两点,且,则圆C的方程为_______________________.

解析:圆心的坐标为,所以,圆的方程为.

(16)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10,则不同的排法共有________________种(用数字作答).

试题详情

解析:数字之和为10的情况有4,4,1,1、 4,3,2,1、 3,3,2,2.

所以共有种不同排法.

 

 

 

试题详情

三、解答题

17.本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦和余弦、函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.

(Ⅰ)解:

              

              

               .

由题设,函数的最小正周期是,可得,所以.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,.

当,即时,取得最大值1,所以函数的最大值是,此时的集合为.

试题详情

18.本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

(Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件,由题意得

解得或(舍去),所以乙投球的命中率为.

解法二:设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件,由题意得

于是或(舍去),故.

所以乙投球的命中率为.

(Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知,,.

故甲投球2次至少命中1次的概率为.

解法二:由题设和(Ⅰ)知,,.

故甲投球2次至少命中1次的概率为.

(Ⅲ)解:由题设和(Ⅰ)知,,,,.

甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,乙中2次.概率分别为

所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为

试题详情

19.本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间相角能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.

(Ⅰ)证明:在中,由题设,,,可得,于是.在矩形中,,又,所以平面.

(Ⅱ)解:由题设,,所以(或其补角)是异面直线与所成的角.

在中,由余弦定理得

由(Ⅰ)知平面,平面,

所以,因而,于是是直角三角形,

故.

所以异面直线与所成的角的大小为.

(Ⅲ)解:过点作于,过点作于,连结.

因为平面,平面,所以.又,因而平面,故为在平面内的射影.由三垂线定理可知,.从而是二面角的平面角.

由题设可得,

,,

,,

于是在中,.

所以二面角的大小为.

试题详情

20.本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分12分.

(Ⅰ)证明:由题设,得

又,,所以是首项为1,公比为的等比数列.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ),

……

将以上各式相加,得.所以当时,

上式对显然成立.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ),当时,显然不是与的等差中项,故.

由可得,由得

,      ①

整理得,解得或(舍去).于是

另一方面,

由①可得

所以对任意的,是与的等差中项.

试题详情

21.本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.满分14分.

(Ⅰ)解:.

当时,

令,解得,,.

当变化时,,的变化情况如下表:

极小值

极大值

极小值

所以在,内是增函数,在,内是减函数.

(Ⅱ)解:,显然不是方程的根.

为使仅在处有极值,必须恒成立,即有.

解此不等式,得.这时,是唯一极值.

因此满足条件的的取值范围是.

(Ⅲ)解:由条件可知,从而恒成立.

当时,;当时,.

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者.

为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当

    即

在上恒成立.

所以,因此满足条件的的取值范围是.

试题详情

22.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.满分14分.

(Ⅰ)解:设双曲线的方程为,由题设得

   解得

所以双曲线的方程为.

(Ⅱ)解:设直线的方程为,点,的坐标满足方程组

将①式代入②式,得,整理得

此方程有两个不等实根,于是,且

.整理得

.        ③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

,.

从而线段的垂直平分线的方程为

此直线与轴,轴的交点坐标分别为,.由题设可得

整理得

,.

将上式代入③式得,

整理得

,.

解得或.

所以的取值范围是.

 

 

试题详情