抚顺市2009届高考调研试题
数学试题 (理工类)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共6分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,四个选项中只有一项正确)
1.设复数,(),若为实数,则等于
A. -2 B. -
2.已知,,,
A. B.
C. D.
3.已知、是不共线的向量,,(、),则、、三点共线的充要条件是
A. λ+μ=1 B.λ-μ=
4.设映射是实数集到实数集的映射,若对于实数,在中不存在原象,则的取值范围是
A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1]
5.“同一首歌”心连心文艺团体下基层进行宣传演出,原准备的节目表中有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,在它们之间再插入3个舞蹈节目,如果这三个舞蹈节目在节目表中既不排头,也不排尾,则不同的插入方法有( )种
A.200 B
6.已知是第一象限的角,且,那么
A. B. C. D.
7. 双曲线(a>0,b>0)中,虚轴的两个端点与一个焦点恰好构成等边三角形,若虚轴长为2,则两条准线间的距离为
A. B. C. D.?
8.等差数列中,是其前项和,,,则的值为
A.2006
B
9.设、、为三个不同的平面,、为两条不同的直线,在下列四个条件中:①,,; ②,,;③,,; ④,,。是的充分条件的有:
A.①② B.②④ C.②③ D. ③④
10.已知点M(a,b)在由不等式组所在平面区域的面积是
A.8 B.
11.已知函数(其中是自然对数的底数)的反函数为,则有
A. ? B. ?
C. ? D. ?
12.若不等式在上恒成立,则的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 半径为的球面上有、、三点,其中点与、两点间的球面距离均为,、两点间的球面距离均为,则球心到平面的距离为___ _ .
14. 展开式中,所有项的系数之和为 .
15.、(为原点)是圆的两条互相垂直的半径,是该圆上任一点,且,则 .
16.如图,B地在A地的正东方向
地在B地的北偏东30°方向
的没岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离
比到B的距离远
选一处M建一座码头,向B、C两地转运
货物.经测算,从M到B、M到C修建公
路的费用分别是a万元/km、
那么修建这两条公路的总费用最低是 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知向量,(,).函数,的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为,且过点.
(1)求函数的表达式;
(2)当时,求函数的单调区间。
18.(本小题满分12分)
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答这道题对的概率是,甲、丙两人都回答错的概率是,乙、丙两人都回答对的概率是.
(1)求乙、丙两人各自回答这道题对的概率;
(2)用表示回答该题对的人数,求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥的底面是正方形,侧面
是等腰三角形且垂直于底面,,
,、分别是、的中点。
(1)求证:;
(2)求二面角的大小。
20.(本小题满分12分)
已知数列中,,,其前项和满足.令.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求证:();
21.(本小题满分12分)
已知:点A(0,1),点R在y轴上运动, 点T在x轴上,N为动点,且
(1)设动点N的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;
(2)如图所示:过点B(-2,0)的直线与曲线C交于点P、Q,
若在曲线C上存在点M,使得是以PQ为斜边的直角三角形,求直线的斜率的取值范围。
22.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若对满足的任意实数恒成立,求实数的取值范围(这里是自然对数的底数)
(3)求证:对任意正数、、、,恒有:.
2009届调研试题数学一(理科)
一、选择题: C C D B D A A C B B A D
(2)由(Ⅰ),.
的可能取值为:、、、.
则;
;
;
.…………9分
∴的分布列为
的数学期望.…………12分
故二面角的大小为…………………………12分
解法二:如图,以为原点,建立空间直角坐标系,使轴,、分别在轴、轴上。
20.解:(1)由题意知即……2分
∴
……5分
检验知、时,结论也成立,故.…………6分
(2)由于,故
.…………12分
21.解:(1)设,由知:R是TN的中点,…………………1分
则T(-x,0),R(0, ),=O 则(-x,- )?(1,- )=0………………3分
∴ 点N的轨迹曲线C的方程为:……………5分
(2)设直线的方程为,代入曲线C的方程得: 此方程有两个不等实根,
……………6分
M在曲线C上,P、Q是直线与曲线C的交点,
设则,
是以PQ为斜边的直角三角形……8分
,,有
由于,
∴ ∴…………10分
t为点M的纵坐标,关于的方程有实根,
,
直线的斜率且,或…12分
22.解(1)
∴的增区间为,减区间为和.…………3分
极大值为,极小值为.…………5分
(2)原不等式可化为由(1)知,时,的最大值为.
∴的最大值为,由恒成立的意义知道,从而…8分
(3)设
则.
∴当时,,故在上是减函数,
又当、、、是正实数时,
∴.
由的单调性有:,
即.…………12′