第Ⅰ卷（共60分）
参考公式：
锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
球的表面积公式：，其中是球的半径．
如果事件互斥，那么．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足，且的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设的共轭复数是，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象是（ ）
4．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．设函数则的值为（ ）
A． B． C． D．
可得该几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
7．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A． B． C．3 D．
10．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
14．执行右边的程序框图，若，
则输出的 ．
15．已知，
则的
值等于 ．
16．设满足约束条件
则的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题满分12分）
已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间．
18．（本小题满分12分）
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求被选中的概率；
（Ⅱ）求和不全被选中的概率．
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
21．（本小题满分12分）
设函数，已知和为的极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设，试比较与的大小．
22．（本小题满分14分）
已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．
（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学（答案）
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．C 5．A 6．D
7．D 8．C 9．B 10．C 11．B 12．A
二、填空题
13． 14． 15．2008 16．11
1．满足，且
的集合的个数是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合中必含有,
则或.选B.
2．设的共轭复数是，若，，则等于（ D ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设，由
得选D.
3．函数的图象是（ A ）
解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。是偶函数，
可排除B、D，由的值域可以确定.选A.
4．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．
在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ）
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,
而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中, 真命题
有一个。选C.
5．设函数则的值为（ A ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。
选A.
可得该几何体的表面积是（ D ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。
从三视图可以看出该几何体是由一个球和
一个圆柱组合而成的，其表面及为
选D。
7．不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知排除B;由符合可排除C;
由排除A, 故选D。也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解。
8．已知为的三个内角的对边，向量
．若，且，
则角的大小分别为（ C ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查解三角形问题。，
，
.选C. 本题在求角B时,也可用验证法.
9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A． B． C．3 D．
解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。
选B.
10．已知，则的值是（ C ）
A． B． C． D．
解析：本小题主要考查三角函数变换与求值。，
，
选C.
11．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，
则该圆的标准方程是（ B ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。
设圆心为由已知得选B.
则满足的关系是（ A ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得取特殊点
.选A.
13．已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个
焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆
得圆与坐标轴的交点分别为
则所以双曲线的标准方程为
则输出的 ．
解析：本小题主要考查程序框图。
，因此输出
15．已知，
则
的值等于 ．
解析：本小题主要考查对数函数问题。
16．设满足约束条件 则的最大值为 ．
解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形,其四个顶点
分别为验证知在点时取得最大值11.
17．解：（Ⅰ）
．
因为为偶函数，
所以对，恒成立，
因此．
即，
整理得．
因为，且，
所以．
又因为，
故．
所以．
由题意得，所以．
故．
因此．
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，
所以．
当（），
即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．
三、解答题
18．解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
{，，
，，，
，，，
}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用表示“恰被选中”这一事件，则
{，
}
事件由6个基本事件组成，
因而．
（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，
由于{}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
19．（Ⅰ）证明：在中，
由于，，，
故．
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面．
（Ⅱ）解：过作交于，
由于平面平面，
所以平面．
因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形．
因此．
在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，
所以四边形的面积为．
故．
20．（Ⅰ）证明：由已知，当时，，
又，
所以，
即，
所以，
又．
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，
即．
所以当时，．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，
故在表中第13行第三列，
因此．
又，
所以．
记表中第行所有项的和为，
则．
21．解：（Ⅰ）因为
，
又和为的极值点，所以，
因此
解方程组得，．
（Ⅱ）因为，，
所以，
令，解得，，．
因为当时，；
当时，．
所以在和上是单调递增的；
在和上是单调递减的．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，
故，
令，
则．
令，得，
因为时，，
所以在上单调递减．
故时，；
因为时，，
所以在上单调递增．
故时，．
所以对任意，恒有，又，
因此，
故对任意，恒有．
22．解：（Ⅰ）由题意得
又，
解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，
．
解方程组得，，
所以．
设，由题意知，
所以，即，
因为是的垂直平分线，
所以直线的方程为，
即，
因此，
又，
所以，
故．
又当或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，的轨迹方程为．
（2）当存在且时，由（1）得，，
由解得，，
所以，，．
解法一：由于
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．
解法二：因为，
又，，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
此时面积的最小值是．
当，．
当不存在时，．
综上所述，的面积的最小值为．