得 分
评卷人
17.（本题满分14分）
数学试题
参考公式：
样本数据，，，的方差
（为样本平均数）
锥体体积公式 柱体体积公式（其中为底面面积、为高） 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ，
A．必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．的值是 △ ．
试题详情
2. 抛物线的焦点到准线的距离是 △ ．
3．已知复数，它们所对应的点分别为A，B，C．若，则的值是 △ ．
4．已知函数，则不等式的解集是 △ ．
5．若或是假命题，则的取值范围是 △ ．
6．函数在（0，2）内的单调增区间为 △ ．
7．在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是 △ ．
8.已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 △ ．
9. 下列伪代码输出的结果是 △ ；
10．过圆锥高的三等分点，作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分面积之比为_____△______.
11．过三点的线性回归方是 △ ；
12.已知则满足条件的点所形成区域的面积为 △ ．
13.对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有, 那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是 △ ．
14．一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（＋1）R处有一点光源O，OA与球相切，则球在桌面上的投影??椭圆的离心率为 △ .
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
分组
频数
频率
60.5~70.5
0.16
70.5~80.5
10
80.5~90.5
18
0.36
90.5~100.5
合计
50
（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；
（2）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) ，并作出频率分布直方图；
（3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？
16．（本小题满分14分）
已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，其外接圆半径为1，且有sinA－sinC＋cos(A-C)= .
（1）求A的大小；
（2）求△ABC的面积．
17．（本小题满分15分）
如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．
（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比．
18．（本小题满分15分）
已知圆O：，直线：．
（1）设圆O与轴的两交点是，若从发出的光线经上的点M反射后过点，求以为焦点且经过点M的椭圆方程．
（2）点P是轴负半轴上一点，从点P发出的光线经反射后与圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标．
19．（本小题满分16分）
已知函数，存在正数，使得的定义域和值域相同．
（1）求非零实数的值；
（2）若函数有零点，求的最小值．
20．（本小题满分16分）
已知数列、中，对任何正整数都有：
．
（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；
（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
（3）若数列是等差数列，数列是等比数列，求证：．
一、填空题：
1．； 2．； 3．； 4．； 5．；
6．； 7． 8．； 9．21； 10．；
11．；12．； 13．； 14．
二、解答题：
15．（1）编号为016； ----------------------------3分
（2）
8
0.20
14
0.28
1
------------- ----------------------------8分
（3）在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，
占样本的比例是，即获二等奖的概率约为32%，
所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。有 ------------------------13分
答：获二等奖的大约有256人。 -----------------------------------14分
16．解：（1） B=600，A＋C＝1200， C＝1200 －A，
∴ sinA－sinC＋ cos（A－C）
＝sinA－ cosA＋［1－2sin2（A－60°）］=，
∴sin（A－60°）［1－ sin（A－60°）］＝0? -------------------------4分
∴sin（A－60°）＝0或sin（A－60°）＝， 又0°＜A＜120°，
∴A＝60°或105°．??? -------------------------8分
(2) 当A＝60°时，Ｓ△＝ａcsinB＝×4Ｒ2sin360°＝ ------------11分
当A＝105°时,?S△＝×4Ｒ2?sin105°sin15°sin60°＝ ----------------14分
17．解：（1）如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD； ---4分
（2）如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD； -------------------------8分
（3）如四面体A-B1CD1（3分 ）； -------------------------11分
设长方体的长、宽、高分别为，则 ．---------14分
18．（1）如图，由光学几何知识可知，点关于的对称点在过点且倾斜角为的直线上。在中，椭圆长轴长， ----4分
又椭圆的半焦距，∴，
∴所求椭圆的方程为． -----------------------------7分
（2）路程最短即为上上的点到圆的切线长最短，由几何知识可知，应为过原点且与垂直的直线与的交点，这一点又与点关于对称，∴，故点的坐标为． -------------------------15分
注：用代数方法求解同样分步给分！
19． 解：（1）若，对于正数，的定义域为，但 的值域，故，不合要求． --------------------------2分
若，对于正数，的定义域为． -----------------3分
由于此时，
故函数的值域． ------------------------------------6分
由题意，有，由于，所以．------------------8分
20．解：（1）依题意数列的通项公式是，
故等式即为，
同时有，
两式相减可得 ------------------------------3分
可得数列的通项公式是，
知数列是首项为1，公比为2的等比数列。 ---------------------------4分
（2）设等比数列的首项为，公比为，则，从而有：
，
又，
故 -----------------------------6分
要使是与无关的常数，必需， ----------------------------8分
即①当等比数列的公比时，数列是等差数列，其通项公式是；
②当等比数列的公比不是2时，数列不是等差数列． ------------9分
（3）由（2）知， ------------------------------------------10分
--------------14分
----------------------------16分
数学卷附加题参考答案
1．是的中点，
2．解： (1) ； ---------------------------------------------------------4分
(2)矩阵的特征多项式为 ，
得, -----------------------------------------------------------------------5分
当 ,当． ----------------------------------------6分
由，得． -------------------------------------7分
∴
．--------------------10分
4．简证：（1）∵，∴， ，，三个同向正值不等式相乘得．------------------------------5分
简解：（2）时原不等式仍然成立．
思路1：分类讨论、、、证；
思路2：左边=．-------------------------------------10分
5．（1）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，则
码---------------------------------------------------------------2分
----------------------------------------------4分
（2）参加测试次数的可能取值为2，3，4，5，--------------------------------------5分
+． --------------------------------------------------8分
故的分布列为：
2
3
4
5
P
． --------------------------------9分
答：该生考上大学的概率为；所求数学期望是．----------------------------10分
，
，
，
的方差
为样本平均数）
柱体体积公式
（其中
为底面面积、
为高） 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 
，
的值是 △ ．
的焦点到准线的距离是 △ ．
，它们所对应的点分别为A，B，C．若
，则
的值是
△ ．
，则不等式
的解集是 △ ．
或
是假命题，则
的取值范围是 △ ．
在（0，2
）内的单调增区间为 △ ． 
为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是 △ ．
满足：
．若将
都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 △ ． 
的线性回归方是 △ ；
则满足条件
的点
所形成区域的面积为 △ ． 
上有意义的两个函数
和
，如果对任意
，均有
, 那么我们称
上是接近的．若
与
在闭区间
上是接近的，则
的取值范围是 △ ． 
cos(A-C)= 
（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）； 
，直线
：
． 
，若从
发出的光线经
，求以
，存在正数
，使得
的定义域和值域相同．
的值；
有零点，求
中，对任何正整数
都有：
．
．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
； 
； 7．
8．
； 9．21； 10．
；
；12．
； 13．
； 14．
，即获二等奖的概率约为32%，
cos（A－C）
sinA－
cosA＋
sin（A－60°）］＝0?
-------------------------4分
------------11分
----------------14分
，则
．---------14分
关于
的对称点
在过点
且倾斜角为
的直线
上。在
中，椭圆长轴长
， ----4分
，∴
，
．
-----------------------------7分 
到圆
的切线长最短，由几何知识可知，
关于
，故点
．
-------------------------15分
，对于正数
，
的定义域为
，但
，故
，不合要求． --------------------------2分
，对于正数
． -----------------3分
，
．
------------------------------------6分
，由于
，所以
．------------------8分
的通项公式是
，
，
，
------------------------------3分
的通项公式是
，
，则
，从而有：
，
-----------------------------6分
，
是与
无关的常数，必需
， ----------------------------8分
；
， ------------------------------------------10分
--------------14分
----------------------------16分
是
的中点，
；
---------------------------------------------------------4分
的特征多项式为
，
, -----------------------------------------------------------------------5分
,当
．
----------------------------------------6分
，得
． -------------------------------------7分
．--------------------10分
，∴
， 
，
，三个同向正值不等式相乘得
．------------------------------5分
时原不等式仍然成立．
、
、
、
证；
．-------------------------------------10分
，则
码---------------------------------------------------------------2分
----------------------------------------------4分
的可能取值为2，3，4，5，--------------------------------------5分
，
，
+
． --------------------------------------------------8分
． --------------------------------9分
；所求数学期望是
．----------------------------10分