北京市海淀区2008年高三年级第二学期期末练习
数 学（文科） 2008.05
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项 ：
1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。
2．选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）
=
（ ）
（A）
（B） 
（C）
（D）
（2）定义映射
，若集合A中元素x在对应法则f作用下的象为
，则A中元素9的象是
（ ）
(A) 
(B) 2
(C) 
(D)
（3）若a为实数，则圆 
的圆心所在的直线方程为
( )
(Ａ) 
（B）
（C）
（D）
（4）
的值为
（ ）
(Ａ) 512 （B）511 （C） 1024 （D）1023
（5）函数
与
在同一直角坐标系中的图象是
（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
（6）设
是三条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 （ ）
（A）若
与l所成的角相等，则
（B）若a//b， 
Ìa, 则
（C）若与a所成的角相等，则
（D）若g与平面a，b所成的角相等，则a//b
（7）设双曲线
的右焦点为
，直线
过点.若直线与双曲线
的左、右两支都相交，则直线的斜率
的取值范围是
（ ）
（A）
或
（B）
或
（C）
（D）
(8 ) 设函数
，给出下列四个命题：
①当
时，
是奇函数；
②当
时，方程
只有一个实根；
③函数的图象关于点
对称;
④方程至多有两个实根,
其中正确命题的个数为 （ ）
（A）1 个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（文科） 2008.05
第II卷（共110分）
注意事项 ：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
（9）已知向量a = (1，?2)，b = ( 4, 2), 那么a与b夹角的大小是 .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.
（10）已知点A分有向线段
所成的比为
，且M（1, 3），
，那么A点的坐标为
．
（11）已知椭圆
的一条准线方程是
，那么此椭圆的离心率是 __________.
（12）设地球的半径为
，则地球北纬
的纬线圈的周长等于___
___.
（13）若圆
关于直线
对称的圆为C,则圆C的圆心坐标为
;再把圆C沿向量 a=(1,2)平移得到圆D,则圆D的方程为
.
（14）定义运算：
，若数列
满足
，且
（
），则
=
，数列
的通项公式为
.
（15）（本小题共12分）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
设函数
,其中向量
, 
,
.
（I）求
的值及函数
的最大值；
（II）求函数的单调递增区间.
（16）（本小题共14分）
在三棱锥
中，
，
.
（Ⅰ）证明：
⊥
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的大小.
（用反三角函数表示）
（17）（本小题共13分）
甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为
，甲、乙都闯关成功的概率为
，乙、丙都闯关成功的概率为
.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（I）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（II）求团体总分为4分的概率；
（III）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率.
（18）（本小题共13分）
将数列的各项排成如图所示的三角形形状.
（Ⅰ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列，写出图中第5行第5个数；
（Ⅱ）若函数
且
求数列的通项公式；
(III) 设
为第行所有项的和，在（II）的条件下，用含的代数式表示.
（19）（本小题共14分）
已知
为坐标原点, 点的坐标为
，点
是直线
上一动点,
点
为
的中点，点
满足
，且
.
（I）
求点的轨迹方程；
（II）
设过点
的直线 与点的轨迹交于A、B两点，
且
.试问角
能否等于 
？若能，求出相应的直线 的方程；若不能，请说明理由．
（20）（本小题共14分）
已知函数
（
）.
（I）若函数
的图象在点P（1，
）处的切线的倾斜角为
，求a；
（II）设的导函数是
.在（I）的条件下，若
，求
的最小值；
（Ⅲ）若存在
，使
，求a的取值范围.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（文科）
一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
B
A
D
D
B
C
C
二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
(9) 
(10) 
(11) 
或
(12) 
(13) 
，
(14) 10,
三.解答题 （本大题共6小题,共80分）
(15) (共12分)
解：（I）
，
，
=
?
------------------2分
------------------4分
= 
.
------------------5分
又
-----------------6分
函数的最大值为
.
------------------7分
当且仅当
（
Z）时，函数取得最大值为.
（II）由
（Z），
------------------9分
得
，
------------------11分
函数的单调递增区间为[
]（Z）. ------------------12分
(16) （共14分）
解法一：
解：（Ⅰ）
且
平面
.--------------------2分
为
在平面内的射影.
--------------------3分
又
⊥
, ∴⊥
.
--------------------4分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，
∴
为所求二面角的平面角.
--------------------6分
又∵
=
=4,
∴=4 . ∵=2 , ∴=60°.
--------------------9分
即二面角
大小为60°.
（Ⅲ）过
作
于D，连结
,
由（Ⅱ）得平面
平面
,又
平面
,
∴平面
平面,且平面
平面
,
∴
平面.
∴
为
在平面内的射影.
. -----------------11分
在
中，
，
在
中，
，
.
∴
=
.
-------------------13分
所以直线
与平面
所成角的大小为
.
-------------------14分
解法二：
解：（Ⅰ）由已知
，
以
点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.
则 
,
.
-------------------2分
则
，
.
.
.
-------------------4分
（Ⅱ）
，
平面.
是平面的法向量. -------------------5分
设侧面的法向量为
,
,.
,
.令
则
.
则得平面的一个法向量
. -------------------7分
.
-------------------8分
即二面角大小为60°.
-------------------9分
（Ⅲ）由（II）可知是平面的一个法向量.
-------------------10分
又
， 
.
-------------------13分
所以直线与平面所成角为
.
-------------------14分
（17）（共13分）
解：（I）设乙闯关成功的概率为
，丙闯关成功的概率为
-------------------1分
因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：
-------------------3分
解得
.
-------------------5分
答：乙闯关成功的概率为
，丙闯关成功的概率为
.
（II）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关.
设“团体总分为4分”为事件A， -------------------6分
则
-------------------9分
答：团体总分为4分的概率为
.
（III）团体总分不小于4分, 即团体总分为4分或6分，
设“团体总分不小于4分”为事件B， -------------------10分
由（II）知团体总分为4分的概率为，
团体总分为6分, 即3人都闯关成功的概率为
------------------- 12分
所以参加复赛的概率为
=
-------------------13分
答：该小组参加复赛的概率为
.
(18) （共13分）
解：（Ⅰ）第5行第5个数是29. ……………2分
(II) 由
得
.
……………3分
设
是数列
的前
项和， ∴
.
当
时，
……………5分
当
时，
……………6分
又当时，
，
∴
……………8分
即数列的通项公式是
（III）由 (II)知数列是首项为1，公差为2的等差数列.
…………… 9分
∵前
行共有项
∴第
行的第一项为
………… 11分
∴第行构成首项为
,公差为2的等差数列，且有项.
∴
.
……………13分
（19）（共14分）
解：（I）设点
, 由已知得点
在
的中垂线上,
-------------------1分
即
,
------------------2分
根据抛物线的定义知,动点在以F为焦点,以直线m为准线的抛物线上， ------------------4分
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