雅礼中学2008届高三第八次质检数学试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷题两部分.满分150分.考试时量120分钟.第Ⅰ卷——青夏教育精英家教网——

雅礼中学2008届高三第八次质检数学（理科）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试时量120分钟.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则是的（）

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件

C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

2．下列函数中周期为1的奇函数是（）

A B

C D

3．下列不等式中恒成立的个数有（）

① ②

③ ④

A 4 B 3 C 2 D 1

4．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选出方法种数为（）

A 600 B 300 C 100 D 60

5．已知的前n项和（）

A 67 B 65 C 6l D 56

6．对于平面直角坐标系内任意两点（，）、（，），定义它们之间的一种“距离”：‖‖=??+??．给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命题的个数为（）

A 0 B 1 C 2 D 3

7．如图,设O点在内部,且有,则的面积与的面积的比为（）

A 2 B

C 3 D

8．已知点P 是抛物线上一点，设点P到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）

A 5 B 4 C D

A

B

C

D

10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是（）

A 3844 B 3943 C 3945 D 4006

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11．某校为了了解高三年级学生的身体状况，现用分层抽样的方法，从全段600名学生中抽取60名进行体检，如果在抽取的学生中有男生36名，则在高三年级中共有女生名．

12．，则

13．通过两个定点且在轴上截得的弦长等于的圆的方程是

14．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.

（）当满足条件时，m∥β；

（）当满足条件时，m⊥β　（注意：只要填条件中的序号）

15．设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意，，有，，则

（）；

（）若记，那么

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知△ABC的三边成等比数列，且，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求的面积。

17．（本小题满分12分）

　　设轮船有两个发动机，轮船有四个发动机，如果半数或半数以上的发动机没有故障，轮船就能够安全航行．现设每个发动机发生故障的概率是的函数：（其中为发动机启动后所经历的时间,为正常数，每个发动机工作相互独立）．

（Ⅰ）分别求出轮船安全航行的概率（用表示）；

（Ⅱ）根据时间的变化，比较轮船和轮船哪一个更能安全航行（除发动机发生故障外，不考虑其他因素）．

18．（本小题满分12分）

如图，等腰直角△中，，平面，∥，.

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

19．（本小题满分13分）

如图所示，某校把一块边长为2a的等边△ABC的边角地(如图)辟为生物园，图中DE把生物园分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

（Ⅰ）设AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；?

（Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，DE的位置应该在哪里?如果DE是参观线路，即希望它最长，DE的位置又应该在哪里?请给予证明.?

20．（本小题满分13分）

如图，设是椭圆的左焦点，直线为对应的准线，直线与轴交于点，线段为椭圆的长轴，已知，且．

（Ⅰ）求证：对于任意的割线，恒有；

（Ⅱ）求三角形△ABF面积的最大值．

21．（本小题满分13分）

已知点是且

（Ⅰ）求的定义域；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求证：数列{a_n}前n项和

一、选择题：ADBAA BCCDB

二、填空题

11.; 12． ; 13．

14．（）③⑤ （）②⑤ 15．（）；（） 0

三、解答题：

16．解：（1）

…………5分

由成等比数列，知不是最大边

…………6分

（2）由余弦定理

得ac=2 …………11分

= …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1当时，则．此时轮船更安全．

2当时，则．此时轮船和轮船一样安全．

3当时，则．此时轮船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

故. …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，?

∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝ (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）证明:∵y＝ (a≤x≤2a)，令x²＝t，则a²≤t≤4a²

且y＝，设f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

当t∈（a²，2a²）时，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是减函数.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函数.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，当t＝2a²时，f（x）有最小值，即x＝a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a²或4a²时，f（x）有最大值，即x＝a或2a时，y有最大值，且y_max＝a，此时DE为AB或AC边上的中线.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为． ………（3分）

当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

当的斜率不为0时，设方程为，

代入椭圆方程整理得：．

，，．

则

，

而

∴，从而．

综合可知：对于任意的割线，恒有． ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

∴三角形△ABF面积的最大值是． ………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定义域为…………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用数学归纳法证明：

①在n=1时，a₁=1，<a₁<2，则n=1时（*）式成立.

②假设n=k时成立，

由

要证明：

只需

只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需1≤4k²+2k

而4k²+2k≥1在k≥1时恒成立.

只需证：4k²+11k+8>0，而4k²+11k+8>0在k≥1时恒成立.

于是：

因此得证.

综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立. ………………9分

（Ⅲ）要证明：

由（2）可知只需证：

…………（**）

下面用分析法证明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需证：

即只需证：(3n－2)³n>(3n－1)³(n－1)

只需证：2n>1

而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：

于是由（**）式可知有：

因此有：

……………………………………（13分）