[教学目标]
一、创设情景:问题:若一动点到定点F的距离与到一条定直线的距离之比是一个常数时,那么这个点的轨迹是什么曲线?(描点画出,抛物线)
二、讲解新课:
1. 抛物线定义:
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线
思考1:抛物线定义中,Fl,当F∈l时,轨迹是什么?(过F垂直于l的直线)
思考2:抛物线的离心率是多少?(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线,椭圆离心率为e∈(0,1),双曲线离心率为e∈(1,+∞),抛物线只能为1。到定点距离与到定直线距离的比就是离心率)
问题3:怎样得到抛物线的方程?
2.推导抛物线的标准方程:
如图所示,建立直角坐标系系,设|KF|=(>0),那么焦点F的坐标为,准线的方程为,
设抛物线上的点M(x,y),则有
化简方程得
方程叫做抛物线的标准方程
(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(,0),它的准线方程是
p为焦点到准线的距离,简称焦准距
(2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:,,.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下
图形
方程
焦点
准线
说明:如果不考虑p的正负,则抛物线标准方程有两种形式y2=2ax,y2=-2ax
思考:y=ax2的焦点坐标和准线方程各是什么?(焦点(0,),准线x=-)
练习:教材P45----练习题
例:M为抛物线y2=4x上一点,F为其焦点,(1)MF=6,求M的坐标;(2)若A(2,2),MF+MA最小,求M的坐标
解:(1)设M(x,y),
[方法一]则,解得M(5,±2)
[方法二]抛物线准线为x=-1,MF等于M到准线的距离x+1=6,x=5,代入抛物线方程得M(5,±2)
(2)设M到准线距离为d,则MF+MA=d+MA,从而自A向准线作垂线,与抛物线交点即为点M,M(1,2)
[补充习题]
四、作业:教材P47――习题2.4:1,2,6,7
1、若点A是定直线l外一定点,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是_______________
2、点M到点(0,8)的距离比它到直线y=-7的距离大1,则M点的轨迹方程是________.
3、抛物线y2=16x上的一P到x轴的距离为12,焦点为F,求PF=____
4、已知抛物线y2=x上的点M到准线的距离等于它到顶点的距离,求P点的坐标.
5、求过点(t2,t)(t≠0)的抛物线方程
[答案]
1、以A为焦点,l为准线的抛物线
2、x2=32y(将y=-7向下平移一个单位得到y=-8,M到它的距离与到点(0,8)的距离相等)
3、13
4、(,)
5、x2=t3y或y2=x
[教后感想与作业情况]
[教学目标]
[教学重点]抛物线的几何性质。
[教学难点]抛物线的几何性质的应用。
教学过程:
二、建构数学
一、复习引入:椭圆、双曲线的几何性质从哪几个方面展开的?抛物线性质如何?
先根据抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质
1、范围:x≥0
2、对称性
抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3、顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4、抛物线的几何性质归纳
标准方程
图 形
焦点坐标
准线方程
开口方向
向右
向左
向上
向下
对称轴
x轴
y轴
顶点
坐标原点
观察发现1:抛物线的对称轴与其标准方程有什么联系?(正好是标准方程中的一次项)
2:抛物线中,过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段称抛物线的通径,其长为多少?(2p)
3、抛物线有无渐近线?(无,当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).
三、数学运用
课堂练习:课本47页练习1-3
例1、 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线,灯口直径为
解:如图,在车灯的一个轴截面上建立坐标系,设抛物线方程为,灯应安装在焦点F处。
在轴上取一点C,使OC=
例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长.
分析:观察图正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.
解:如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为,则:
,所以.
由此可得,,即线段AB关于x轴对称,因为x轴垂直于AB,且
∠Aox=30°,所以.
说明:这个题目对学生来说,求边长不困难,但是他们往往直观上承认抛物线与三角形的对称轴是公共的,而忽略了它的证明.教学时, 要提醒学生注意这一点。
例3、已知定点,试在抛物线上找一点N,求MN的最小值,并求相应的点N的坐标
解: 设,则,=x12-2(a-p)x1+a2
(1) 当即时,,取最小值,此时
(2) 当即时,,取最小值,此时
MNmin=
[补充习题]
四、作业:教材P47----习题3,4,5
1、点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2++3的最小值是_______,到直线2x-y-4=0距离最小的点的坐标为_________________
2、已知抛物线的顶点为椭圆=1(a>b>0)的中心,抛物线的焦点为椭圆的一个焦点,椭圆的离心率e=,有抛物线与椭圆交于点M(,-),求椭圆与抛物线的方程
3、已知点F为抛物线y2=4x的焦点,点A、B是抛物线上两点,三角形AFB是正三角形,求该三角形的边长
[答案]
1、3;(,±1)
2、+=1,y2=4x
3、8±4
[教后感想与作业反馈]
教学目标
教学重点
会利用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的问题;
教学难点
分析问题解决问题能力的培养。
教学过程
教学内容
一、复习引入
抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、开口方向、通径)
二、数学运用
三、情感态度和价值观:体会方程与曲线的关系及数形结合的思想方法
例1.已知抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点(x0,-8)到焦点的距离等于17,求抛物线方程.
分析 设方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0)
则 x0+=17或-x0=17 即 x0=17-或x0=-17
将(17-,-8)代入y2=2px 解得 p=2或p=32
将(-17,-8)代入y2=-2px 解得 p=2或p=32
∴所求抛物线方程为y2=±4x或y2=±64x.
说明:注意解题过程中用待定系数法的步骤:设――算――回
例2. 已知抛物线y2=2px上两点A、B,BC⊥x轴交抛物线于C,AC交x轴于E,BA延长交x轴于D,求证:O为DE中点.
分析 只需证出D、E两点的横坐标互为相反数即可,设A,B ,设D,E,由A,B,D三点共线得(斜率相等或向量共线):xD=x1-=-=-=,同理,由A,C,E共线得: (以-y2代替y1) 即O为DE中点.
说明:计算中注意先化简后求值,同理时注意其代换规律
例3. 已知直线L过点A()且与抛物线只有一个公共点,求直线L的方程。
分析 设直线方程为:代入抛物线方程化简得:
(1) 当时,方程组有且只有一解,所以直线与抛物线只有一个公共点;
直线方程为:
(2) 当时,由得或直线方程为:或
总之,直线方程为y-1=0或2x+2y+1=0或2x-6y+0=0
说明:直线l与抛物线C:( )2=±2p( )交点,看其公共方程mx2+nx+q=0或my2+ny+q=0,则△=n2-4mq,于是:l与C相交于两点;相交于一点m=0l与C的对称轴重合或平行;相切于一点;相离
例4. 过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦OA,OB,证明:AB与抛物线的对称轴交于定点。
分析 可分别设OA,OB所在的直线方程为:和()由 解得A ,同理可得B(以-代替其中的k),直线AB的方程:=,另y=0解得与X轴交于一定点
[补充习题]
四、作业:教材P47----8,9
1、抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰好在点P平分,则此弦所在的直线方程为________
2、直线y=x+b与抛物线y2=-3x交于A、B两点,且线段中点的横坐标为-2,则b=__________
3、抛物线x2=4y,过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB的长为__________
4、抛物线顶点在原点,坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为_______
5、设O为原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,求
6、抛物线y2=2px(p>0),点P(1,2)、A(x1,y1)、B(x2,y2)都在抛物线上(1)求抛物线方程;(2)当PA、PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率
[答案]
1、3x-y-11=0
2、1/2
3、8
4、x2=±16y
5、-
6、(1)y2=4x; (2)-1
[教后感想与作业情况]