1、电场强度E

①定义：放入电场中某点的电荷受的电场力F与它的电量q的比值叫做该点的电场强度。

②数学表达式：，单位：

③电场强度E是矢量，规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向即为该点的电场强度的方向

④场强的三个表达式

定义式

决定式

关系式

表达式

选用

范围

对任何电场E的大小及方向都适用。与检验电荷的电量的大小、电性及存在与否无关。

  q：是检验电荷

只对真空的点电荷适用。

Q：是场源电荷的电量。

r：研究点到场源电荷的距离。

只对匀强电场适用。

U：电场中两点的电势差。

d：两点间沿电场线方向的距离。

说明

电场强度是描述电场力的性质的物理量。电场E与F、q无关，取决于电场本身。

当空间某点的电场是由几个点电荷共同激发的，则该点的电场强度等于每个点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和。

⑤比较电场中两点的电场强度的大小的方法：

由于场强是矢量。比较电场强度的大小应比较其绝对值的大小，绝对值大的场强就大，绝对值小的场强就小。

Ⅰ在同一电场分布图上，观察电场线的疏密程度，电场线分布相对密集处，场强较大；电场较大；电场线分布相对稀疏处，场强较小。

Ⅱ形成电场的电荷为点电荷时，由点电荷场强公式可知，电场中距这个点电荷Q较近的点的场强比距这个点电荷Q较远的点的场强大。

Ⅲ匀强电场场强处处相等

Ⅳ等势面密集处场强大，等势面稀疏处场强小

2、电势、电势差和电势能

    ①定义：

电势：在电场中某点放一个检验电荷q，若它具有的电势能为E，则该点的电势为电势能与电荷的比值。电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功。也等于该点相对零电势点的电势差。

电势差：电荷在电场中由一点A移到另一点B时，电场力做功与电荷电量q的比值，称为AB两点间的电势差，也叫电压。

电势能：电荷在电场中所具有的势能；在数值上等于将电荷从这一点移到电势能为零处电场力所做的功。

②定义式：或，单位：V

                          单位：J

③说明：Ⅰ电势具有相对性，与零电势的选择有关，一般以大地或无穷远处电势为零。

Ⅱ电势是标量，有正负，其正负表示该的电势与零电势的比较是高还是低。

Ⅲ电势是描述电场能的物理量，

④关于几个关系

关于电势、电势差、电势能的关系

电势能是电荷与电场所共有的；电势、电势差是由电场本身因素决定的，与检验电荷的有无没有关系。

电势、电势能具有相对性，与零电势的选择有关；电势差具有绝对性，与零电势的选择无关。

关于电场力做功与电势能改变的关系

电场力对电荷做了多少功，电势能就改变多少；电荷克服电场力做了多少功，电势能就增加多少，电场力对电荷做了多少正功，电势能就减少多少，即  。

  在学习电势能时可以将“重力做功与重力势能的变化”作类比。

  关于电势、等势面与电场线的关系

  电场线垂直于等势面，且指向电势降落最陡的方向，等势面越密集的地方，电场强度越大。

⑤比较电荷在电场中某两点的电势大小的方法：

Ⅰ利用电场线来判断：在电场中沿着电场线的方向，电势逐点降低。

Ⅱ利用等势面来判断：在静电场中，同一等势面上各的电势相等，在不同的等势面间，沿着电场线的方向各等势面的电势越来越低。

Ⅲ利用计算法来判断：因为电势差，结合

，若，则，若，则；

若，则

⑥比较电荷在电场中某两点的电势能大小的方法：

Ⅰ利用电场力做功来判断：在电场力作用下，电荷总是从电势能大的地方移向电势能小的地方。这种方法与电荷的正负无关。

Ⅱ利用电场线来判断：正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减少；逆着电场线方向移动时，电势能逐渐增大。负电荷则相反。

电场力（库仑力）虽然在本质上不同于重力、弹力、摩擦力，但是产生的效果是服从牛顿力学中的所有规律，所以在计算其大小、方向时应按电场的规律，而在分析力产生的效果时，应根据力学中解题思路进行分析处理。对于静电场中的“平衡”问题，是指带电体的加速度为零的静止或匀速直线运动状态，属于“静力学”的范畴，只是分析带电体受的外力时除重力、弹力、摩擦力等等，还需多一种电场而已。解题的一般思维程序为：

①明确研究对象

②将研究对象隔离出来，分析其所受的全部外力，其中电场力，要根据电荷的正负及电场的方向来判断。

③根据平衡条件或，列出方程

④解出方程，求出结果。

三、电加速和电偏转

1、带电粒子在电场中的加速

    在匀强电场中的加速问题   一般属于物体受恒力（重力一般不计）作用运动问题。处理的方法有两种：

    ①根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解

②根据动能定理与电场力做功，运动学公式结合求解

基本方程：

    在非匀强电场中的加速问题   一般属于物体受变力作用运动问题。处理的方法只能根据动能定理与电场力做功，运动学公式结合求解。

      基本方程：

2、带电粒子在电场中的偏转

    设极板间的电压为U，两极板间的距离为，极板长度为。

    运动状态分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后，受到恒定的电场力作用，且与初速度方向垂直，因而做匀变速曲线运动――类似平抛运动如图1。

            图1

运动特点分析：

在垂直电场方向做匀速直线运动      

在平行电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动

通过电场区的时间：

粒子通过电场区的侧移距离：

粒子通过电场区偏转角：

带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。所以侧移距离也可表示为：

这类问题关键在于弄清楚哪些是变量；哪些是不变量；哪些是自变量；哪些是因变量。同时要注意对公式的理解，定义式适用于任何电容器，而电容C与Q、U无关。

区分两种基本情况：一是电容器两极间与电源相连接，则电容器两极间的电势差U不变；二是电容器充电后与电源断开，则电容器所带的电量Q保持不变。

电容器结构变化引起的动态变化问题的分析方法    平行板电容器是电容器的一个理想化模型，其容纳电荷的本领用电容C来描述，当改变两金属板间距d、正对面积S或其中的介质时，会引起C值改变。给两个金属板带上等量异号电荷Q后，板间出现匀强电场E，存在电势差U。若改变上述各量中的任一个，都会引起其它量的变化。若两极板间一带电粒子，则其受力及运动情况将随之变化，与两极板相连的静电计也将有显示等等。

解此类问题的关键是：先由电容定义式、平行板电容器电容的大小C与板距d、正面积S、介质的介电常数的关系式和匀强电场的场强计算式导出，，等几个制约条件式备用。接着弄清三点：①电容器两极板是否与电源相连接？②哪个极板接地？③C值通过什么途径改变？若电容器充电后脱离电源，则隐含“Q不改变”这个条件；若电容器始终接在电源上，则隐含“U不改变”（等于电源电动势）这个条件；若带正电极板接地，则该极板电势为零度，电场中任一点的电势均小于零且沿电场线方向逐渐降低；若带负电极板接地，则该极板电势为零，电场中任一点电势均大于零。

五、带电粒子在匀强磁场的运动

1、带电粒子在匀强磁场中运动规律

初速度的特点与运动规律

①    为静止状态

②     则粒子做匀速直线运动

③  ,则粒子做匀速圆周运动，其基本公式为：

向心力公式：

运动轨道半径公式：；

运动周期公式：

动能公式：

T或、的两个特点：

T、和的大小与轨道半径（R）和运行速率（）无关，只与磁场的磁感应强度（B）和粒子的荷质比（）有关。

荷质比（）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，、和相同。

④与B成（角，，则粒子做等距螺旋运动

2、解题思路及方法

圆运动的圆心的确定：

①利用洛仑兹力的方向永远指向圆心的特点，只要找到圆运动两个点上的洛仑兹力的方向，其延长线的交点必为圆心．

②利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心

六、加速器问题

1、直线加速器

    ①单级加速器：是利用电场加速，如图2所示。

    粒子获得的能量：

        图2

    缺点是：粒子获得的能量与电压有关，而电压又不能太高，所以粒子的能量受到限制。

    ②多级加速器：是利用两个金属筒缝间的电场加速。

    粒子获得的能量：

    缺点是：金属筒的长度一个比一个长，占用空间太大。

2、回旋加速器

    采用了多次小电压加速的优点，巧妙地利用电场对粒子加速、利用磁场对粒子偏转，实验对粒子加速。

①回旋加速器使粒子获得的最大能量：

    在粒子的质量、电量，磁感应强度B、D型盒的半径R一定的条件下，由轨道半径可知，，即有，，所以粒子的最大能量为

    由动能定理可知，，加速电压的高低只会影响带电粒子加速的总次数，并不影响引出时的最大速度和相应的最大能量。

②回旋加速器能否无限制地给带电粒子加速？

回旋加速器不能无限制地给带电粒子加速，在粒子的能量很高时，它的速度越接近光速，根据爱因斯坦的狭义相对论，这里粒子的质量将随着速率的增加而显著增大，从而使粒子的回旋周期变大（频率变小）这样交变电场的周期难以与回旋周期一致，这样就破坏了加速器的工作条件，也就无法提高速率了。

七、粒子在交变电场中的往复运动

    当电场强度发生变化时，由于带电粒子在电场中的受力将发生变化，从而使粒子的运动状态发生相应的变化，粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动，也可能是变速往复运动。

带电粒子是做单向变速直线运动，还是做变速往复运动主要由粒子的初始状态与电场的变化规律（受力特点）的形式有关。

                         图3                    图4

1、若粒子（不计重力）的初速度为零，静止在两极板间，再在两极板间加上图3的电压，粒子做单向变速直线运动；若加上图4的电压，粒子则做往复变速运动。

    2、若粒子以初速度为从B板射入两极板之间，并且电场力能在半个周期内使之速度减小到零，则图1的电压能使粒子做单向变速直线运动；则图2的电压也不能粒子做往复运动。

   所以这类问题要结合粒子的初始状态、电压变化的特点及规律、再运用牛顿第二定律和运动学知识综合分析。

八、粒子在复合场中运动

1、在运动的各种方式中，最为熟悉的是以垂直电磁场的方向射入的带电粒子，它将在电磁场中做匀速直线运动，那么，初速v₀的大小必为E/B，这就是速度选择器模型，关于这一模型，我们必须清楚，它只能选取择速度，而不能选取择带电的多少和带电的正负，这在历年高考中都是一个重要方面。

2、带电物体在复合场中的受力分析：带电物体在重力场、电场、磁场中运动时，其运动状态的改变由其受到的合力决定，因此，对运动物体进行受力分析时必须注意以下几点：

①受力分析的顺序：先场力（包括重力、电场力、磁场力）、后弹力、再摩擦力等。

②重力、电场力与物体运动速度无关，由物体的质量决定重力大小，由电场强决定电场力大小；但洛仑兹力的大小与粒子速度有关，方向还与电荷的性质有关。所以必须充分注意到这一点才能正确分析其受力情况，从而正确确定物体运动情况。

3、带电物体在复合场的运动类型：

①匀速运动或静止状态：当带电物体所受的合外力为零时

②匀速圆周运动：当带电物体所受的合外力充当向心力时

③非匀变速曲线运动；当带电物体所受的合力变化且和速度不在一条直线上时

4、综合问题的处理方法

(1)处理力电综合题的的方法

处理力电综合题与解答力学综合题的思维方法基本相同，先确定研究对象，然后进行受力分析（包括重力）、状态分析和过程分析，能量的转化分析，从两条主要途径解决问题。

①用力的观点进解答，常用到正交分解的方法将力分解到两个垂直的方向上，分别应用牛顿第三定律列出运动方程，然后对研究对象的运动进分解。可将曲线运动转化为直线运动来处理，再运用运动学的特点与方法，然后根据相关条件找到联系方程进行求解。

②用能量的观点处理问题

对于受变力作用的带电体的运动，必须借助于能量观点来处理。即使都是恒力作用的问题，用能量观点处理也常常显得简洁，具体方法有两种：

?用动能定理处理，思维顺序一般为：

a.弄清研究对象，明确所研究的物理过程

b.分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功

c.弄清所研究过程的始、末状态（主要指动能）

?用包括静电势能和内能在内的能量守恒定律处理，列式的方法常有两种：

a从初、末状态的能量相等（即）列方程

b从某些能量的减少等于另一些能量的增加（即）列方程

c若受重力、电场力和磁场力作用，由于洛仑兹力不做功，而重力与电场力做功都与路径无关，只取决于始末位置。因此它们的机械能与电势能的总和保持不变。

(2)处理复合场用等效方法：

各种性质的场与实物（由分子和原子构成的物质）的根本区别之一是场具有叠加性。即几个场可以同时占据同一空间，从而形成叠加场，对于叠加场中的力学问题，可以根据力的独立作用原理分别研究每一种场力对物体的作用效果；也可以同时研究几种场力共同作用的效果，将叠加紧场等效为一个简单场，然后与重力场中的力学问题进行类比，利用力学的规律和方法进行分析与解答。

【典例分析】

图5

【例1】如图5所示，AB是一个接地的很大的薄金属板，其右侧P点有带量为Q的正电荷，N为金属板外表面上的一点，P到金属板的垂直距离，M为PN连线的中点，关于M、N两点的场强和电势，有如下说法：

①M点的电势比N点电势高，M点的场强比N点的场强大

②M点的场强大小为

③N点的电势为零，场强不为零

④N点的电势和场强都为零

上述说法中正确的是（      ）

 A.①③           B.②④          C.①④          D.②③

【例2】如图6所示，两根长为的绝缘细线上端固定在O点，下端各悬挂质量为的带电小球A、B，A、B带电分别为、，今在水平向左的方向上加匀强电场，场强E，使连接AB长为的绝缘细线拉直，并使两球处于静止状态，问，要使两小球处于这种状态，外加电场E的大小为多少？

                图6

【例3】如图7所示，是示波管工作原理示意图，电子经加速电压U₁加速后垂直进入偏转电场，离开偏转电场时的偏转量为，两平行板间的距离为，电势差为U₂，板长为，为了提高示波管的灵敏度（单位偏转电压引起的偏转量）可采取哪些措施？

             图7

【例4】（2001年，安徽高考题）一平行板电容器，两板间的距离和两板面积都可调节，电容器两极板与电池相连接，以表示电容器的电量，表示两极间的电场强度，则下列说法中正确的是（       ）

A.当增大，S不变时，减小E减小

B.当S增大，不变时，增大E增大

C.当减小，S增大时，增大E增大

D.当S减小，减小时，不变E不变

【例5】如图8所示，在S点的电量为q，质量为m的静止带电粒子，被加速电压为U，极板间距离为d的匀强电场加速后，从正中央垂直射入电压为U的匀强偏转电场，偏转极板长度和极板距离均为L，带电粒子离开偏转电场后即进入一个垂直纸面方向的匀强磁场，其磁感应强度为B。若不计重力影响，欲使带电粒子通过某路径返回S点，求：

（1）匀强磁场的宽度D至少为多少？

（2）该带电粒子周期性运动的周期T是多少？偏转电压正负极多长时间变换一次方向？

          图8

 v₁

           图 9

【例7】一水平放置的平行板电容器置于真空中，开始时两极板的匀电场的场强大小为E₁，这时一带电粒子在电场的正中处于平衡状态。现将两极板间的场强大小由E₁突然增大到E₂，但保持原来的方向不变，持续一段时间后，突然将电场反向，而保持场强的大小E₂不变，再持续一段同样时间后，带电粒子恰好回到最初的位置，已知在整个过程中，粒子并不与极板相碰，求场强E₁的值。

【例8】如图10所示，在xOy平面内，有场强E=12N/C，方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、方向垂直xOy平面指向纸里的匀强磁场．一个质量m=4×10-5kg，电量q=2.5×10-5C带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点．求：（1）P点到原点O的距离；（2）带电微粒由原点O运动到P点的时间．

【跟踪练习】

1．如图11所示，P、Q是两个电量相等正的电荷，它们连线的中点是O，a、b是中垂线上的两点，，用、、、分别表示a、b两点的场强和电势，则（      ）

            图11

A.一定大于，一定大于   

B.不一定大于，一定大于

C.一定大于，不一定大于

D.不一定大于，不一定大于

2．一个电量为的正电荷从电场外移到电场里的A点,电场做功,则A点的电势U_A等于多少?如果此电荷移到电场里的另一点B,电场力做功2×10^－3，则A、B两点间的电势差U_AB等于多少？如果有另一电量是的负电荷从A移到B，则电场力做功为多少？

         图12

3．如图12所示，质量为的小球B，带电量为，用绝缘细线悬挂在O点，球心到O点的距离为，在O点的正下方有一个带同种电荷的小球A固定不动，A的球心到O点的距离也为，改变A球的带电量，B球将在不同的位置处于平衡状态。当A球带电量为，B球平衡时，细线受到的拉力为；若A球带的电量为，B球平衡时，细线受到的拉力为，则与的关系为（       ）

A. >             B. <

C.  =            D. = =

4．有三根长度皆为的不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在天花板上的O点，另一端分别拴有质量皆为的带电小球A和B，它们的电量分别为和，。A、B之间用第三根线连接起来。空间中存在大小为的匀强电场，场强方向沿水平向右，平衡时A、B球的位置如图13所示。现将O、B之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B球最后会达到新的平衡位置。求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少。（不计两带电小球间相互作用的静电力）

         图13

              图14

5．如图14所示，电子在电势差为U₁的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U₂的两平行极板间的电场中，射入方向与极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略，在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（        ）

      A.U₁变大，U₂变大

      B.U₁变小，U₂变大

      C.U₁变大，U₂变小

      D.U₁变小，U₂变小

6．（1997年，全国题）如图15（1）所示，真空室中电极K发出的电子（初速不计）经过伏的加速电场后，由小孔S沿两水平金属板A、B间的中防线射入，A、B板长米，相距米，加在A、B两板间的电压u随时间t变化u―t图线如图15(2)所示，设A、B间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场，在每个电子通过电场区域的极短时间。内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极右端距离米，筒绕其竖直轴匀速转动，周期T秒，筒的周长米，筒能接收到通过A、B板的全部电子。

      （1）以t=0时[见图15（2）]，此时u=0，电子打到圆筒记录纸上的点作为xy坐标系的原点，并取y轴竖直向上，试计算电子打到记录纸上的最高点的y坐标和x坐标。（不计重力作用）

（2）在给出的坐标纸图15（3）上定量地画出电子打到记录纸上的点形成的图线。

           图16

7．(1997年，全国题)在图16中所示的实验装置中，平行板电容器的极板A与灵敏的静电计相接，极板B接地，若极板B稍向上移动一点，由观察到的静电计指针变化作出平行板电容器电容变小的结论，其依据是（    ）

  A.两极板间的电压不变，极板上的电量变小

  B.两极板间的电压不变，极板上的电量变大

  C.极板上的电量几乎不变，两极板间的电压变小

  D.极板上的电量几乎不变，两极板间的电压变大

            图17

8．如图17所示，已充电的平行板电容器，带正电的极板接地，两极板间于P点处固定一负的点电荷，若将上极板下移至虚线位置，则下列说法中正确的是（     ）

A.两极间的电压和板间场强都变小

B.两极间的电压变小，但场强不变

C.P点的电势升高，点电荷的电势能增大

D.P点的电势不变，点电荷的电势能也不变

9．如图18所示，在x轴上方有匀强磁场（磁感强度为B），一个质量为m，带电量为q的粒子以速度v₀从坐标原点O射入磁场，v₀ 与x轴的负方向夹角为，不计重力，求粒子在磁场中飞行的时间和飞出磁场的坐标（磁场垂直纸面，不考虑粒子的重力）

图18

10．如图19所示，x轴上方有匀强磁场， 磁感应强度为B，方向如图所示，下方有匀强电场，场强为E。今有电量为q，质量为m的粒子位于y轴N点坐标（0，－b）。不计粒子所受重力。在x轴上有一点M（L，0）。若使上述粒子在y轴上的N点由静止开始释放在电磁场中往返运动，刚好能通过M点。已知OM＝L。求：

(1)     粒子带什么电?

(2)     释放点N离O点的距离须满足什么条件?

图 19

(3)     从N到M点粒子所用最短时间为多少?

         图20

11．图20中，A、B是一对平行的金属板。在两板间加上一周期为T的交变电压。A板的电势U_A=0，B板的电势U_B随时间的变化规律为，在0到T/2的时间内，U_B= U₀(正常数)；在T/2到达T的时间内，U_B＝－U₀；在T到3T/2的时间内，U_B=U₀；在3T/2到2T的时间，U_B= ―U₀…现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区内，设电子的初速度和重力影响均可忽略，则（    ）

A.若电子在t＝0时刻进入，它将一直向B板运动

B.若电子是在t＝T/8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

C.若电子是在t＝3T/8时刻进入的，它可能时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上

D.若电子是在t＝T/2时刻进入的，它可能时而向B板，时而向A板运动

12. (2003.江苏)串列加速器是用来产生高能离子的装置。图21中虚线框内为其主体的原理示意图，其中加速管的中部b处有很高的正电势U，a、c两端均有电极接地（电势为零），现将速度很低的负一价碳离子从a端输入，当离子到达b处时，可被设在b处的特殊装置将其电子剥离，成为n价正离子，而不改变其速度大小。这些正n价碳离子从c端飞出后进入一与其速度方向垂直的、磁感应强度为B的匀强磁场中，在磁场中做半径为R的圆周运动。已知碳离子的质量，，，，元电荷，求半径R。

图21

13．如图22所示为一种获得高能粒子的装置。环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调的匀强磁场。质量为m，电量为＋q的粒子在环中作半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔的极板。原来电势都是零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为＋U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间电场中得到加速。每当粒子离开B板时，A板电势又降为零。粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。

(1)设t＝0时粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并绕行第一圈。求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能E_n。

(2)为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增。求粒子绕行第n圈时的磁感应强度B_n。

(3)求粒子绕行n圈所需要的总时间t_n（设极板间距离远小于R）。

(4)在图22(2)中画出A板电势u与时间t的关系（从t＝0起画到粒子第四次离开B板时即可）

          R

O      A     +U

0  

       图22(1)

(5)在粒子绕行的整个过程中，A板电势是否可始终保持为＋U？为什么？

u                    

 U                        

0                                                                                            t

           图22(2)

14．（2002年，广东题）如图23（a）所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为（远小于板的长度和宽），在两板之间有一带负电的质点P，已知若在A、B间加电压U₀，则P点可以静止平衡，现在A、B间加上图（b）所示的随时间变化的电压U，在时，质点P位于A、B的中点处且初速度为零，已知质点P能在A、B间以最大的幅度上下运动，而又不与两极板相碰，求图（b）中U改变的各时刻及的表达式（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程，电压只改变一次）。

    （a）           （b）

              图23

15．如图24所示，倾角为30⁰的直角三角形底边长为2l，底边外在水平位置，斜边为光滑绝缘导轨，现在底边中点O处固定一正电荷Q，让一个质量为m的带正电荷q从斜面顶端A沿斜面滑下（始终不脱离斜面），已测得它滑到仍在斜边上的垂足D处的速度为v，加速度为a，方向沿斜面向下，问该质点滑到斜边底端C点时的速度和加速度各为多少？  

 图24

专题四  电磁感应与电路

黄冈中学  王小兰

[方法归纳]

电磁感应是电磁学中最为重要的内容，也是高考的热点之一。电磁感应是讨论其他形式能转化为电能的特点和规律；电路问题主要是讨论电能在电路中传输、分配并通过用电器转化成其他形式能的特点和规律，本专题的思想是能量转化与守恒思想。

在复习电磁感应部分时，其核心是法拉第电磁感应定律和楞次定律；这两个定律一是揭示感应电动势的大小所遵循的规律；一个是揭示感的电动势方向所遵循的规律，法拉第电磁感定律的数学表达式为：，磁通量的变化率越大，感应电动势越大．磁通量的变化率越大，外界所做的功也越大．楞次定律的表述为：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化，从楞次定律的内容可以判断出：要想获得感应电流就必须克服感应电流的阻碍，需要外界做功，需要消耗其他形式的能量．在第二轮复习时如果能站在能量的角度对这两个定律进行再认识，就能够对这两个定律从更加整体、更加深刻的角度把握．

电路部分的复习，其一是以部分电路欧姆定律为中心，包括六个基本物理量（电压、电流、电阻、电功、电功率、电热），三条定律（部分电路欧姆定律、电阻定律和焦耳定律），以及串、并联电路的特点等概念、定律的理解掌握和计算；其二是以闭合电路欧姆定律为中心讨论电动势概念、闭合电路中的电流、路端电压以及闭合电路中能量的转化；其三，对高中物理所涉及的三种不同类别的电路进行比较，即恒定电流电路、变压器电路、远距离输电电路，比较这些电路哪些是基本不变量，哪些是变化量，变化的量是如何受到不变量的制约的．其能量是如何变化的．

在恒定电流电路中，如果题目不加特殊强调，电源的电动势和内电阻是基本不变量，在外电阻改变时其他量的变化受到基本不变量的制约．

在变压器电路中，如果题目不加特殊强调，变压器的输入电压不变，其他量改变时受到这个基本不变量的制约．

在远距离输电电路中，如果题目不加特殊强调，发电厂输出的电功率不变，其他量改变时受到这个基本不变量的制约．

[典例分析]

1．电磁感应的图象问题

方法：图象问题有两种：一是给出电磁感应过程选出或画出正确图象；二是由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．其思路是：利用法拉第电磁感应定律计算感应电动势．感应电流的大小，利用楞次定律或右手定则判定感应电流的方向，利用图象法直观，明确地表示出感应电流的大小和方向．掌握这种重要的物理方法．

例1、如图4―1（a）所示区域（图中直角坐标系xOy的1、3象限）内有匀强磁场，磁感应强度方向垂直于图面向里，大小为B，半径为l，圆心角为60°的扇形导线框OPQ以角速度绕O点在图面内沿逆时针方向匀速转动，导线框回路电阻为R．

（1）求线框中感应电流的最大值I₀和交变感应电流的频率f．

（2）在图（b）中画出线框转一周的时间内感应电流I随时间t变化的图象．（规定在图（a）中线框的位置相应的时刻为t =0）

2、电路的动态分析

方法：利用欧姆定律，串、并联电路的性质，闭合电路的欧姆定律；明确不变量，以“从局部到整体再到局部”，“从外电路到内电路再到外电路”的顺序讨论各物理量的变化情况．

例2、如图4―3所示的电路中，电源的电动势为E，内阻为r．当可变电阻的滑片P向b移动时，电压表的读数U₁与电压表的读数U₂的变化情况是（   ）

A．U₁变大，U₂变小             

B．U₁变大，U₂变大

C．U₁变小，U₂变小             

B．U₁变小，U₂变大

3、电磁感应与力学综合

方法：从运动和力的关系着手，运用牛顿第二定律

（1）基本思路：受力分析→运动分析→变化趋向→确定运动过程和最终的稳定状态→由牛顿第二定律列方程求解．

（2）注意安培力的特点：

（3）纯力学问题中只有重力、弹力、摩擦力，电磁感应中多一个安培力，安培力随速度变化，部分弹力及相应的摩擦力也随之而变，导致物体的运动状态发生变化，在分析问题时要注意上述联系．

例3、如图4―4所示，两根相距为d的足够长的平行金属导轨位于水平xOy平面内，左端接有阻值为R的电阻，其他部分的电阻均不计．在x>0的一侧存在垂直xOy平面且方向竖直向下的稳定磁场，磁感强度大小按B=kx规律变化（其中k是一大于零的常数）．一根质量为m的金属杆垂直跨搁在光滑的金属导轨上，两者接触良好．

当t =0时直杆位于x=0处，其速度大小为v₀，方向沿x轴正方向，在此后的过程中，始终有一个方向向左的变力F作用于金属杆，使金属杆的加速度大小恒为a，加速度方向一直沿x轴的负方向．求：

（1）闭合回路中感应电流持续的时间有多长？

（2）当金属杆沿x轴正方向运动的速度为时，闭合回路的感应电动势多大？此时作用于金属杆的外力F多大？

4、电磁感应与动量、能量的综合

方法：

（1）从动量角度着手，运用动量定理或动量守恒定律

①应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量，如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可以解决牛顿运动定律不易解答的问题．

②在相互平行的水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合外力为零，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒．解决此类问题往往要应用动量守恒定律．

（2）从能量转化和守恒着手，运用动能定律或能量守恒定律

①基本思路：受力分析→弄清哪些力做功，正功还是负功→明确有哪些形式的能量参与转化，哪增哪减→由动能定理或能量守恒定律列方程求解．

②能量转化特点：其它能（如：机械能）电能内能（焦耳热）

例4、如图4―6所示，在空间中有一水平方向的匀强磁场区域，区域的上下边缘间距为h，磁感应强度为B．有一宽度为b（b<h）、长度为L、电阻为R、质量为m的矩形导体线圈紧贴磁场区域的上边缘从静止起竖直下落，当线圈的PQ边到达磁场下边缘时，恰好开始做匀速运动．求：

（1）线圈的MN边刚好进入磁场时，线圈的速度大小．

（2）线圈从开始下落到刚好完全进入磁场所经历的时间．

例5、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd构成矩形回路，如图4―7所示．两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，磁感应强度为B，设两导体棒均为沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度（如图所示），若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？

（2）当ab棒的速度变为初速度的时，cd棒的加速度是多少？

5、电磁感应与电路综合

方法：在电磁感应现象中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路相当于电源．解决电磁感应与电路综合问题的基本思路是：

（1）明确哪部分相当于电源，由法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向．

（2）画出等效电路图．

（3）运用闭合电路欧姆定律．串并联电路的性质求解未知物理量．

例6、如图4―8所示，直角三角形导线框abc固定在匀强磁场中，ab是一段长为L、电阻为R的均匀导线，ac和bc的电阻可不计，ac长度为．磁场的磁感强度为B，方向垂直纸面向里．现有一段长度为，电阻为的均匀导体棒MN架在导线框上，开始时紧靠ac，然后沿bc方向以恒定速度v向b端滑动，滑动中始终与ac平行并与导线框保持良好接触，当MN滑过的距离为时，导线ac中的电流为多大？方向如何？

6、交变电流的三值

（1）最大值：，最大值与线圈的形状，以及转轴的位置无关，但转轴应与磁感线垂直．

（2）有效值：交流电的有效值是根据电流的热效应来定义的．即在同一时间内，跟某一交流电一样能使同一电阻产生相等热量的直流的数值，叫做该交流电的有效值．

正弦交流电的有效值与最大值之间的关系为：．各种交流电器设备上标准值及交流电表上的测量值都是指有效值．

（3）平均值 

（4）最大值、有效值和平均值的应用

①求电功、电功率以及确定保险丝的熔断电流等物理量时，要用有效值计算．正弦交变电流的有效值为，其他交流电流的有效值只能根据有效值的定义来计算．

②求一段时间内通过导体横截面的电量时要用平均值来计算．

而．

注意，平均值不等于有效值．

③在考虑电容器的耐压值时，则应根据交流电的最大值．

例7、边长为a的N匝正方形线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中，以角速度绕垂直于磁感线的转轴匀速转动，线圈的电阻为R．求：

（1）线圈从中性面开始转过90°角的过程中产生的热量．

（2）线圈从中性面开始转过90°角的过程中，通过导线截面的电量．

7、电容、电路、电场、磁场综合

方法：从电场中的带电粒子受力分析入手，综合运用牛顿第二定律；串、并联电路的性质、闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律进行分析、计算，注意电容器两端的电压和等效电路．

例8、如图4―11所示，光滑的平行导轨P、Q相距l=1m，处在同一水平面中，导轨左端接有如图所示的电路，其中水平放置的平行板电容器C两极板间距离d=10mm，定值电阻R₁=R₃=8Ω，R₂=2Ω，导轨电阻不计，磁感应强度B=0.4T的匀强磁场竖直向下穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动（开关S断开）时，电容器两极板之间质量m=1×10^－14kg，带电荷量q=－1×10^－25C的粒子恰好静止不动；当S闭合时，粒子以加速度a=7m/s²向下做匀加速运动，取g=10m/s²，求：

（1）金属棒ab运动的速度多大？电阻多大？

（2）S闭合后，使金属棒ab做匀速运动的外力的功率多大？

8、电磁感应与交流电路、变压器综合

方法：①变压器遵循的是法拉第电磁感应定律，理想变压器不考虑能量损失，即输入功率等于输出功率．②理想变压器原线圈的电压决定着负线圈的电压，而副线圈上的负载反过来影响着原线圈的电流，输入功率．③远距离输电是以电功率展开分析的，其中损失功率是最为关键的因素．④在供电电路、输电电路、用电回路所构成的输电电路中， 输出电路中的电流和输电回路中的损失电压是联系其余两回路的主要物理量．

                          n₁┱n₂                  ┱

图4―12

例9、有条河流，流量Q=2m³/s，落差h=5m，现利用其发电，若发电机总效率为50%，输出电压为240V，输电线总电阻R=30Ω，允许损失功率为输出功率的6%，为满足用电的需求，则该输电线路所使用的理想电压、降压变压器的匝数比各是多少？能使多少盏“220V、100W”的电灯正常发光．

[跟踪练习]

1．矩形导线框abcd放在匀强磁场中，磁感线方向与线圈平面垂直，磁感强度B随时间变化的图象如图4―13所示．t=0时刻，磁感强度的方向垂直于纸面向里．在0～4s时间内，线框的ab边受力随时间变化的图象（力的方向规定以向左为正方向），可能如图4―14中的（   ）

A．               B．              C．              D．

2．如图4―14甲所示，由均匀电阻丝做成的正方形线框abcd的电阻为R，ab=bc=cd=da=l．现将线框以与ab垂直的速度v匀速穿过一宽为2l、磁感应强度为B的匀强磁场区域，整个过程中ab、cd两边始终保持与边界平行．令线框的cd边刚与磁场左边界重合时t=0，电流沿abcda流动的方向为正．

（1）求此过程中线框产生的焦耳热；

（2）在图乙中画出线框中感应电流随时间变化的图象；

（3）在图丙中画出线框中a、b两点间电势差U_ab随时间t变化的图象．

图4―14

3．如图4―15所示，T为理想变压器，A₁、A₂为交流电流表，R₁、R₂为定值电阻，R₃为滑动变阻器，原线圈两端接恒压交流电源，当滑变阻器的滑动触头向下滑动时（   ）

A．A₁的读数变大，A₂读数变大

B．A₁的读数变大，A₂读数变小

C．A₁的读数变小，A₂­读数变大

D．A₁的读数变小，A₂的读数变小

4．如图4―16所示：半径为r、电阻不计的两个半圆形光滑导轨并列竖直放置，在轨道左上方端点M、N间接有阻值为R的小电珠，整个轨道处在磁感强度为B的匀强磁场中，两导轨间距为L，现有一质量为m，电阻为R的金属棒ab从M、N处自由静止释放，经一定时间到达导轨最低点O、O′，此时速度为v．

（1）指出金属棒ab从M、N到O、O′的过程中，通过小电珠的电流方向和金属棒ab的速度大小变化情况．

（2）求金属棒ab到达O、O′时，整个电路的瞬时电功率．

（3）求金属棒ab从M、N到O、O′的过程中，小电珠上产生的热量．

5．（2002?上海）如图4―17所示，有两根和水平方向成角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B．一根质量为m的金属杆从轨道上静止自由滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v_m，则（   ）

A．如果B增大，v_m将变大              B．如果变大，v_m将变大

C．如果R变小，v_m将变大              D．如果m变小，v_m将变大

6．（2004年全国）如图4―18所示a₁b₁c₁d₁和a₂b₂c₂d₂为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里．导轨的a₁b₁段与a₂b₂段是竖直的，距离l₁；c₁d₁段与c₂d₂段也是竖直的，距离为l₂．x₁y₁与x₂y₂为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m₁和m₂，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触．两杆与导轨构成的回路的总电阻为R．F为作用于金属杆x₁y₁上的竖直向上的恒力．已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率．

7．光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图4―19所示，抛物线的方程是y=x²，下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y=a的直线（图中虚线所示），一个小金属环从抛物线上y=b（y>a）处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是（   ）

A．mgb           B．         

C．mg(b－a)      D．

8．如图4―20所示，长为L、电阻r=0.3Ω、质量m=0.1kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨间距也是L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R=0.5Ω的电阻，量程为0～3.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为0～1.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面．现以向右恒定外力F使金属棒右移，当金属棒以v=2m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏，问：

（1）此满偏的电表是什么表？说明理由．

（2）拉动金属棒的外力F多大？

（3）此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上．求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量．

9．高频焊接是一种常用的焊接方法，其焊接的原理如图所示．将半径为10cm的待焊接的圆形金属工件放在导线做成的1000匝线圈中，然后在线圈中通以高频的交变电流，线圈产生垂直于金属工件所在平面的变化磁场，磁场的磁感应强度B的变化率为1000T/s．焊接处的接触电阻为工件非焊接部分电阻的 99倍．工作非焊接部分每单位长度上的电阻为，焊接的缝宽非常小，求焊接过程中焊接处产生的热功率．（取=10，不计温度变化对电阻的影响）

图4―21

10．如图所示，与光滑的水平平行导轨P、Q相连的电路中，定值电阻R₁=5Ω，R₂=6Ω；电压表的量程为0～10V，电流表的量程为0～3A，它们都是理想电表；竖直向下的匀强磁场穿过水平导轨面，金属杆ab横跨在导轨上，它们的电阻均可不计，求解下列问题：

（1）当滑动变阻器的阻值R₀=30Ω时，用水平恒力F₁=40N向右作用于ab，在ab运动达到稳定状态时，两个电表中有一个电表的指针恰好满偏，另一个电表能安全使用．试问：这时水平恒力F₁的功率多大？ab的速度v₁多大？

（2）将滑动变阻器的电阻调到R₀=3Ω，要使ab达到稳定运动状态时，两个电表中的一个电表的指针恰好满偏，另一个电表能安全使用，作用于ab的水平恒力F₂多大？这时ab的运动速度v₂多大？

11．两只相同的电阻，分别通过简谐波形的交流电和方形波的交流电．两种交变电流的最大值相等，波形如图4―23所示．在简谐波形交流电的一个周期内，简谐波形交流电在电阻上产生的焦耳热Q₁与方波形交流电在电阻上产生的焦耳热Q₂之比为等于（   ）

A．3┱1          B．1┱2

C．2┱1          D．4┱3

12．曾经流行过一种向自行车车头灯供电的小型交流发电机，图4―24甲为其结构示意图．图中N、S是一对固定的磁极，abcd为固定在转轴上的矩形线框，转轴过bc边中点、与ab边平行，它的一端有一半径r₀=1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘相接触，如图4―24乙所示．当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而使线框在磁极间转动．设线框由N=800匝导线圈组成，每匝线圈的面积S=20cm²，磁极间的磁场可视为匀强磁场，磁感强度B=0.010T，自行车车轮的半径R₁=35cm，小齿轮的半径R₂=4.0cm，大齿轮的半径R₃=10.0cm（见图乙）．现从静止开始使大齿轮加速运动，问大齿轮的角速度为多大时才能使发电机输出电压的有效值U=3.2V？（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）

图4―24

13．如图4―25所示，两块水平放置的平行金属板间距为d，定值电阻的阻值为R，竖直放置线圈的匝数为n，绕制线圈导线的电阻为R，其他导线的电阻忽略不计．现在竖直向上的磁场B穿过线圈，在两极板中一个质量为m，电量为q，带正电的油滴恰好处于静止状态，则磁场B的变化情况是（   ）