2008-2009下学期校一模高三
文科数学试题
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位,则(i)( i)=
A.0
B.
2.在等比数列{an}中,已知 ,则
A.16
B.16或-
3.已知向量a =(x,1),b =(3,6),ab ,则实数的值为
A. B. C. D.
4.经过圆的圆心且斜率为1的直线方程为
A. B.
C. D.
5.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,
则
A. B.
C. D.
6. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,
则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
A.62 B.
7. 已知,则
A. B. C. D.
8. 命题“”的否命题是
A. B.若,则
C. D.
9.图2为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视
图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积为
A.6
B.
10. 已知抛物线的方程为,过点和点的直
线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
(一)必做题(11~13题)
二、填空题: 本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
11. 函数的定义域为 .
12.如图3所示的算法流程图中,输出S的值为 . 图3
13.已知实数满足则的最大值为_______.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中圆的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆的圆心极坐标为_________.
15.(几何证明选讲选做题)如图4,是圆外一点,过引圆的
两条割线、,,,
则___ _.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知R.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的最大值,并指出此时的值.
17. (本小题满分12分)
某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地
在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学
生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.
抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形
图如图5所示,其中120~130(包括120分但不包括130分)
的频率为0.05,此分数段的人数为5人. 0
(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 图5
18.(本小题满分14分)
如图6,已知四棱锥中,⊥平面,
是直角梯形,,90º,.
(1)求证:⊥;
(2)在线段上是否存在一点,使//平面,
若存在,指出点的位置并加以证明;若不存在,请说明理由.
19. (本小题满分14分)
设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两
焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.
20.(本小题满分14分)
设数列的前项和为,且 .
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证:.
21. (本题满分14分)
已知函数 (R).
(1) 当时,求函数的极值;
(2)若函数的图象与轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
11. 12. 13. 14. 15.2
说明:第14题答案可以有多种形式,如可答或Z)等, 均给满分.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
解:(1)∵
. 6分
∴. 8分
(2) 当时, 取得最大值, 其值为2 . ……………………10分
此时,即Z. ……………………12分
17. (本小题满分12分)
解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为人. ………… 3分
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为,
由=100,解得. …………………………………… 6分
∴各班被抽取的学生人数分别是22人,24人,26人,28人. …… 8分
(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………………………12分
18.(本小题满分14分)
解:(1)∵ ⊥平面,平面,
∴ ⊥. ………………………………………………2分
∵ ⊥,,
∴ ⊥平面, ……………………………………………………4分
∵ 平面,
∴ ⊥. …………………………………………………………6分
(2)法1: 取线段的中点,的中点,连结,
则是△中位线.
∴∥,, …………………………8分
∵ ,,
∴.
∴ 四边形是平行四边形, …………………………10分
∴ .
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面. …………………………………… 13分
∴ 线段的中点是符合题意要求的点. ……………………………………14分
法2: 取线段的中点,的中点,连结,
则是△的中位线.
∴∥,, …………………………8分
∵平面, 平面,
∴平面.
∵ ,,
∴.
∴ 四边形是平行四边形, ……………………………………10分
∴ .
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面.
∵,
∴平面平面.……………………………………………………12分
∵平面,
∴∥平面.
∴ 线段的中点是符合题意要求的点.……………………………… 14分
19. (本小题满分14分)
解:(1)依题意知, …………………………………………2分
∵,
∴. ………………………………………… 5分
∴所求椭圆的方程为. …………………………………………6分
(2)∵ 点关于直线的对称点为,
∴
解得:,. …………………………8分
∴. ……………………………10分
∵ 点在椭圆:上,
∴, 则.………………………………………………12分
∴的取值范围为. …………………………………………14分
20. (本小题满分14分)
(1) 解:当时,. ……………………………………1分
当时,
. …………………………………………4分
∵不适合上式,
∴ ………………………………………………………5分
(2)证明: ∵.
当时, ………………………………………………6分
当时,, ①
. ②
①-②得:
得, …………………………………………10分
此式当时也适合.
∴N.
∵,
∴. …………………………………………………11分
当时,,
∴.
∵,
∴.
故,即. ……………………………………………13分
综上,. ………………………………14分
21. (本小题满分14分)
解:(1)当时,,
∴.
令=0, 得 . ………………………………………………2分
当时,, 则在上单调递增;
当时,, 则在上单调递减;
当时,, 在上单调递增. …………………………2分
∴ 当时, 取得极大值为;…………………………4分
当时, 取得极小值为. ………………………6分
(2) ∵ = ,
∴△= = .
① 若a≥1,则△≤0,
∴≥0在R上恒成立,
∴ f(x)在R上单调递增 .
∵f(0),,
∴当a≥1时,函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点. ……………………9分
② 若a<1,则△>0,
∴= 0有两个不相等的实数根,不妨设为x1,x2,(x1<x2).
∴x1+x2 = 2,x1x2 = a.
当变化时,的取值情况如下表:
x
x1
(x1,x2)
x2
+
0
-
0
+
f(x)
ㄊ
极大值
ㄋ
极小值
ㄊ
∵,
∴.
∴
.
同理.
∴
.
令f(x1)?f(x2)>0, 解得a>.
而当时,,
故当时, 函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点.
综上所述,a的取值范围是. ……………………………………14分