重庆西南师大附中2009届第七次月考
数 学 试 题（理）
2009年4月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
复数
等于（ ）
A．2 B．?
2．
集合
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
函数
的图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
4． 设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3 = 8，S6 = 7，则a7 + a8 + a9等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．
平面
平面
的一个充要条件是（ ）
A．存在一条直线l，
B．存在一个平面
C．存在一个平面
D．存在一条直线l，
6．
平面上的向量
满足
，若向量
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
①若
～
，则
；②若～N(2，4)，则
～N(0，1)；③在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，
)
，若在（0，2）内取值的概率为0.8，则在（0，1）内取值的概率为0.4．其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．
已知P是椭圆
上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
9．
已知函数
，且关于x的方程
有6个不同的实数解，若最小实数解为 ? 3，则a + b的值为（ ）
A．? 3 B．?
10．
若
，其中
，且
，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（ ）
A．50个 B．70个 C．90个 D．180个
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11．
的值等于________________．
12．
在
的展开式中，x7的系数是15，则实数a = _______________．
13．
若A为不等式组
表示的平面区域，则当a从? 2 连续变化到1时，动直线
扫过A中的那部分区域的面积为_______________．
14．
已知三棱锥S―ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，
，则三棱锥的体积与球的体积之比是_______________．
15．
关于函数
（a为常数且a > 0）．对于下列命题：
①函数
的最小值是? 1；
②函数在每一点处都连续；
③函数在R上存在反函数；
④函数在x = 0处可导；
⑤对任意x1 < 0、x2 < 0且x1≠x2，恒有
．
其中正确的命题的序号是___________________．
三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16． (本小题满分13分)
已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m
=
，n =
，且m?n = 1．
(1) 求角A；
(2) 若
，求
的值．
17． (本小题满分13分)
一次数学考试中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已经确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有两道可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因完全不会做只能乱猜，试求出该考生：
(1) 得50分的概率；
(2) 所得分数的分布列与数学期望．
18． (本小题满分13分)
如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是边长为2的正三角形，且DE = 2AB = 2，F是CD的中点．
(1) 求证：AF∥平面BCE；
(2) 
求面ABC与面EDC所成的二面角的大小（只求其中锐角）；
(3) 求BE与平面AFE所成角的大小．
19． (本小题满分12分)
已知函数
，其中a > 0．
(1) 求的单调区间；
(2) 设的最小值为
，求证：
．
20． (本小题满分12分)
如图，已知双曲线
，其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，直线AB交PF于点D，且点D满足
（O为原点）．
(1) 求双曲线的离心率；
(2) 若a = 2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，问在y轴上是否存在定点C使
为常数？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
21． (本小题满分12分)
已知点P在曲线C：
上，曲线C在点P处的切线与函数
的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为xA、xB，记
．
(1) 求
的解析式；
(2) 设数列{an}满足
，求数列{an}的通项公式；
(3) 在 (2) 的条件下，当1 < k < 3时，证明不等式
．
西南师大附中高2009级第七次月考
2009年4月
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11．
12．
13．
14．
15．①②⑤
三、解答题：本题共6小题，共75分．
16．解：(1) 
??????????????????????????????????????? 3分
∴ 
∵ 
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
∴ 
(2) 
????????????????????????????????????????????????????? 8分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
∴ 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴ 
?????????????? 13分
17．解：(1) 有两道题答对的概率为
，有一道题答对的概率为
??????????????????????????? 2分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????????????????? 7分
?????????????????????????????? 9分
??????????????????????????????? 11分
∴ 
的分布列为
35
40
45
50
P
???????????????????????????????????? 13分
18．(1) 证明：取CE中点M，则 FM
DE
∵ ABDE ∴ ABFM
∴ ABMF为平行四边形
∴ AF∥BM
又AF
平面BCE，BM
平面BCE
∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 解：过C作l∥AB，则l∥DE ∴ 平面ABC
平面CDE = l
∵ AB⊥平面ACD ∴ l⊥平面ACD
∴ ∠ACD即为所求二面角的平面角，为60
?????????????????????????????????? 8分
(3) 解：设B在平面AFE内的射影为
，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．
∴ BE与平面AFE所成角为
∵ AF⊥CD，AF⊥DE ∴ AF⊥平面CDE ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF
∵ BM∥平面AEF ∴ 
由△CGF∽△EDF，得
∴ 
而 
∴ 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
19．解：(1) 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
由
由
∴ 
上单调递减，在
上单调递增????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????? 6分
∵ 上递减 ∴ 
??????????????? 9分
设
∵ 
∴
上递减
∴ 
即 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：(1) B（0，? b），A（
，0），F（c，0），P（c，
）
∵ 
∴ D为线段FP的中点，
∴ D为（c，
）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
∴ 
，∴ a = 2b，
∴ 
?????????????????????????????????????????????? 5分
(2) a = 2，则b = 1，B（0，?1） 双曲线的方程为
①
设M（x1，y1），N（x2，y2），C（0，m）
由
由已知
???????????????????????????? 7分
设
整理得：
对满足
的k恒成立
∴ 
．
故存在y轴上的点C（0，4），使
为常数17．????????????????????? 12分
21．解：(1) 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
切线方程为
与y = kx联立得：
，令y = 0得：xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 由
??????????????????????????????????????????????????? 5分
两边取倒数得：
∴ 
∴ 
是以
为首项，为公比的等比数列（
时）
或是各项为0的常数列（k = 3时），此时an = 1
时
??????????????????????????????? 7分
当k = 3时也符合上式
∴
????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(3) 作差得 
其中
由于 1 < k < 3，∴ 
∴ 
当
?????????????????????????????????????????????????? 12分