安徽省宿州二中2008―2009学年度高三模拟考试（3）
数学试题(理)
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分，测试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用HB或者2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.
一、选择题：本大题共12个小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设函数
的定义域为集合M，集合N＝
，则
A．
B．N C．
D．M
2、已知椭圆的长轴长是短轴长的
倍，则椭圆的离心率等于
A．
B．
C．
D．
3、如果执行的程序框图（右图所示），那么输出的
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
4、若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则切线的方程为、
A、
B、
C、
D、
5、方程
有实根的概率为
A、
B、
C、
D、
6、已知
是平面，
是直线，则下列命题中不正确的是、
A、若
∥
，则
B、若∥
，则∥
C、若
，则
∥
D、若
，则
7、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“
”图案，
如图所示，设小矩形的长、宽分别为
、
，剪去部分的面积为
，
若
，记
，则的图象是
8、将函数
的图象先向左平移
，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为
A．
B．
C． 
D．
第2卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．每小题5分，满分30分．
9、已知向量
，
，若
，则实数的值等于
．
10、已知
，则
=
．
11、
是虚数单位，则
．
12、函数
由下表定义：
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
若
，
，
，则
．
13、(坐标系与参数方程选做题)曲线
：
上的点到曲线
：
上的点的最短距离为
．
14、(不等式选讲选做题)已知实数
满足
，则
的最大值为
．
15、(几何证明选讲选做题)如图，平行四边形
中，
，若
的面积等于1cm
,
则
的面积等于
cm．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、（本小题满分12分）
设正项等比数列
的前项和为
, 已知
，
．
（1）求首项
和公比
的值；
（2）若
，求的值．
17、（本小题满分12分）
设函数
．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当
时，的最大值为2，求
的值，并求出
的对称轴方程．
18、（本小题满分14分）
一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
（方差：
）
19、（本小题满分14分）
如图，已知四棱锥
的底面是菱形；
平面,
，点
为
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正切值．
20、（本小题满分14分）
给定圆P:
及抛物线S:
,过圆心
作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为
,如果线段
的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.
21、（本小题满分14分）
设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程
有实数根；②
函数的导数
满足
”．
（1）判断函数
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]
D，都存在
[m，n]，使得等式
成立”，试用这一性质证明：方程
只有一个实数根；
（3）设
是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的
，当
，且
时，
．
一、选择题：
l 题号
l
l
l
l
l
l
l
l
l 答案
l
l
l
l
l
l
l
l
1、解析：
，N＝
，
即
．答案：．
2、解析：由题意得
，
又
．
答案：．
3、解析：程序的运行结果是
．答案：．
4、解析：与直线
垂直的切线
的斜率必为4，而
，所以，切点为
．切线为
，即
，答案：．
5、解析：由一元二次方程有实根的条件
，而
，由几何概率得有实根的概率为
．答案：．
6、解析：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以正确；
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以也正确；
只有选项错误．答案：．
7、解析：由题意，得
，答案：．
8、解析：
的图象先向左平移
，横坐标变为原来的倍
．答案：．
二、填空题：
l 题号
l
l
l
l
l
l
l
l 答案
l
l
l
l
l
l
l
9、解析：若
，则
，解得
．
10、解析：由题意
．
11、解析：
12、解析：令
，则
，令
，则
，
令
，则
，令
，则
，
令
，则
，令
，则
，
…，所以
．
13、解析：
：
；则圆心坐标为
．
：
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为
，所以要求的最短距离为
．
14、解析：由柯西不等式
，答案：．
15、解析：显然
与
为相似三角形，又
，所以的面积等于9cm
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、解: (1)
, ………………………
2分
∴
，…………………………………………………
4分
解得
．………………………………………………………………… 6分
(2)由
,得：
,
……………………… 8分
∴
…………………………………
10分
∴
．……………………………………………………………
12分
17、解：（1）
… 2分
则
的最小正周期
， …………………………………4分
且当
时单调递增．
即
为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．……6分
（2）当
时
，当
，即
时
．
所以
． …………………………9分
为的对称轴．
…………………12分
18、解：
（1）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件，………………………2分
∵“两球恰好颜色不同”共
种可能，…………………………5分
∴
．
……………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率为
．………………………………5分
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为
．
…………………7分
（2）设摸得白球的个数为
，依题意得：
，
，
．
… 10分
∴
，……………………………………12分
．……………………14分
19、(1)证明:
连结
，
与交于点
，连结
.………………………1分
是菱形, ∴是的中点. ………………………………………2分
点
为
的中点, ∴
. …………………………………3分
平面
平面
, ∴
平面. ……………… 6分
(2)解法一:
平面,
平面,∴ 
.
，∴
. …………………………… 7分
是菱形, ∴
.
，
∴
平面
.
…………………………………………………………8分
作
，垂足为
，连接
，则
,
所以
为二面角
的平面角. ………………………………… 10分
,∴
，
.
在Rt△
中,
=
，……………………………
12分
∴
.…………………………… 13分
∴二面角
的正切值是
. ………………………… 14分
解法二：如图，以点为坐标原点，线段
的垂直平分线所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，令
，……………2分
则
，
,
．
∴
． ……………4分
设平面
的一个法向量为
,
由
，得
，
令
，则
，∴
. …………………7分
平面,平面,
∴. ………………………………… 8分
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.…………………………… 9分
∴
是平面的一个法向量,
．…………………
10分
∴
，
∴
， …………………… 12分
∴
．……………………………………
13分
∴二面角的正切值是. ……………………… 14分
20、解:圆
的方程为
,则其直径长
,圆心为
,设的方程为
,即
,代入抛物线方程得:
,设
，
有
, ………………………………2分
则
. ……………………4分
故
…6分
, ………… 7分
因此
.
………………………………… 8分
据等差,
, …………… 10分
所以
，即
,
，…………… 12分
即：方程为
或
. …………………14分
21、解：
（1）因为
，
…………………………2分
所以
，满足条件
. …………………3分
又因为当
时，
，所以方程
有实数根
．
所以函数
是集合M中的元素． …………………………4分
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