北京市丰台区2009年高三统一练习（一）
数 学（文科） 2009年3月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.函数
的最小正周期是
（A）
（B） 
（C）2 （D） 4
2. 已知全集
，集合
，集合
，那么集合
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 已知直线
平面α ，直线
平面α ，“直线c⊥，直线c⊥”是“直线c⊥平面α”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 函数
的反函数的定义域为
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 以双曲线
的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是
（A）
(B) 
(C) 
(D) 
6. 若向量,的夹角为120°，││＝││＝2，则?（－）等于
（A）
（B）2
（C） 
（D）6
7. 北京奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员，两队之间共需进行五场比赛，其中一场双打，四场单打，每名队员都需比赛两场（双打需两名队员同时上场比赛），要求双打比赛必须在第三场进行，若打满五场，则三名队员不同的出赛顺序安排共有
（A）144 （B）72
（C）36 （D）18
8. 已知
，
都是定义在
上的函数，且满足以下条件：①=
?（
）；②
；若
，则a等于
（A）
（B）2
（C）
（D）2或
丰台区2008年高三统一练习（一）
数 学 （文科）
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题 号
二
三
总 分
15
16
17
18
19
20
分 数
得 分
评卷人
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
9.不等式
的解集是
。
10. 若
展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是
。
11. 设
。
12. 在长方体
中，
，则长方体的对角线长为
。
13. 在平面直角坐标系
中,已知△
顶点
分别为椭圆
的两个焦点，顶点
在该椭圆上，则
＝
。
14. 对于函数
，我们把使
的实数x叫做函数的零点。函数
的零点是
；若函数和均是定义在上的连续函数，且部分函数值分别由下表给出：
X
1
2
3
4
X
1
2
3
4
3
5
2
－1
4
2
1
3
则当x= 时，函数
在区间
上必有零点。
得 分
评卷人
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. （本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最值。
得 分
评卷人
16. （本小题共13分）
已知数列
中，
，点（1，0）在函数
的图像上。
（Ⅰ）求数列
的通项；
（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
。
得 分
评卷人
17. （本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；(Ⅲ) 证明
.
得 分
评卷人
18. （本小题共14分）
某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，
的学生选修过《几何证明选讲》，
的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选一名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；
(Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。
得 分
评卷人
19. （本小题共13分）
已知函数
的
图像如图所示。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若函数在
处的切线方程为
，求函数的解析式；
（Ⅲ）若
=5，方程
有三个不同的根，求实数
的取值范围。
得 分
评卷人
20. （本小题共14分）
已知
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线，垂足为
，线段
的垂直平分线交
于点M。
(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程；
(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝
，若∈[2，3]，求
的取值范围。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
D
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分
9．
10. 60
11.
12.
13. 2 14. -2；1
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。
15. （本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数
的定义域；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最值。
解：（Ⅰ）由题意 
所求定义域为 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以当
时，取得最大值为
；
…………11分
当
时，取得最小值为0 。
…………13分
16. （本小题共13分）
已知数列
中，
，点（1，0）在函数
的图像上。
（Ⅰ）求数列
的通项；
（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
。
解：(Ⅰ)由已知 
又
…………3分
所以 数列是公比为
的等比数列 所以 
…………6分
（Ⅱ） 由 
…………9分
所以
…………13分
17. （本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 证明
.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
又 是正△ABC边的中点，
…………3分
∠
为所成角
又 
sin∠=
…………5分
所以所成角为
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
为二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)证明: 依题意 得 
，
，
因为 
…………11分
又由（Ⅰ）中 知
，且
，
…………14分
18. （本小题共13分）
某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，
的学生选修过《几何证明选讲》，
的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选1名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；
(Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。
解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，
参加过《数学史》的选修为事件B， 该生没有选修过任何一个模块的概率为P，
则
所以 该生没有选修过任何一个模块的概率为
…………6分
(Ⅱ)至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为
所以至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为
…………13分
19. （本小题共13分）
已知函数
的图像如图所示。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若函数在
处的切线方程为
，求函数的
解析式；
（Ⅲ）若
=5，方程
有三个不同的根，求实数
的取值范围。
解： 函数的导函数为 
(Ⅰ)由图可知
函数的图像过点（0，3），且
得 
…………3分
(Ⅱ)依题意
且
解得 
所以
…………8分
（Ⅲ）依题意 
由 
①
若方程有三个不同的根，当且仅当 满足 
②
由 ① ② 得 
所以 当 
时 ，方程有三个不同的根。 …………13分
20. （本小题共14分）
已知
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线，垂足为
，线段
的垂直平分线交
于点M。
(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程；
(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝
，若∈[2，3]，求
的取值范围。
解：(Ⅰ)设M
，则
，由中垂线的性质知
|
|=
化简得的方程为
…………3分
（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以
为焦点，以为准线的抛物线
所以 
，
则动点M的轨迹的方程为）
(Ⅱ)设
，由＝ 知 
①
又由 在曲线上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
设
，∈[2，3]，
有
在区间
上是增函数，
得 
进而有 
所以 的取值范围是
…………14分