江苏海安立发中学09届高三3月份月考
数 学 试 题
（ 时间：150分钟 满分：200分）
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写
1. 已知复数
，
,那么
= ▲ ．
2. 集合
≤
，
，则集合A中所有元素之和为 ▲ .
3．如果实数
和非零向量
与
满足
，则向量和 ▲ ．
（填“共线”或“不共线”）．
4．在样本的频率分布直方图中，一共有
个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余
个小矩形面积和的
，且样本容量为100，则第3组的频数是 ▲ .
5. 在数列
中，若
，
，
，则该数列的通项为
▲ .
6. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ▲ .
7. 若实数
、
{
，
，
，
}，且
，则曲线
表示焦点在
轴上的
双曲线的概率是 ▲ .
Read S
1
For I
from 1 to
5 step 2
SS+I
Print S
End for
End
输出的结果是 ▲ .
9. 某同学五次考试的数学成绩分别是120， 129， 121，125，130，则这五次考试成绩的方差
▲ .
10. 设
，则
的最大值是 ▲ .
11. 用一些棱长为
图1（俯视图） 图2（主视图）
12. 设奇函数
在
上为增函数，且
，则不等式
的解集为
▲ ．
13. 已知
平面内一区域
，命题甲：点
；命题乙：点
．如果甲是乙的充分条件，那么区域的面积的最小值是 ▲ .
14. 已知函数
,若方程
有且只有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是 ▲
．
证明过程或演算步骤．
二．解答题:本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
15.（本小题满分14分）
设函数
,其中向量
，
(1) 求的最小正周期；
(2) 在
中，
分别是角
的对边，
求
的值．
16.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别
是AB、PC的中点
(1) 求证
CD⊥PD;
(2)
求证 EF∥平面PAD;
(3) 当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？
17.（本小题满分15分）
某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向
税务部门上交元（为常数，2≤a≤5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),
根据市场调查,日销售量与
(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为
40元时，日销售量为10件．
(1)
求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2) 当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最
大值．
18.（本小题满分15分）
设动点
到定点
的距离比它到轴的距离大
．记点
的轨迹为
曲线
．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设圆
过
，且圆心在的轨迹上，
是圆在轴上截得的弦，当运动时弦长
是否为定值?请说明理由．
19.（本小题满分16分）
已知函数
(其中
)
（1）若当
恒成立,求
的取值范围；
（2）若
,求无零点的概率;
(3) 若对于任意的正整数
，当
时，都有
成立,则称这样是
函数.现有函数
,试判断
是不是函数?并给予证明.
20.（本小题满分16分）
数列
的各项均为正数，
为其前
项和，对于任意
，总有
成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列
的前项和为
，且
，求证:对任意实数
（
是常数，＝2.71828
）和任意正整数，总有
2；
(3) 正数数列
中，
.求数列中的最大项.
附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
（本大题共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23～26题为选做题，请考生在第23～26题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
21．（本小题为必做题，满分12分）
已知直线
被抛物线
截得的弦长
为20，
为坐标原点．
（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧
上何处时，△
面积最大？
22．（本小题为必做题，满分12分）
甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为
，求随机变量的期望
．
23．（本小题为选做题，满分8分）
如图，在△中，
是
的中点，
是
的中点，
的延长线交
于
.
（1）求
的值；
（2）若△
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的值．
24．（本小题为选做题，满分8分）
已知直线
的参数方程：
（
为参数）和圆的极坐标方程：
．
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线和圆的位置关系．
25．（本小题为选做题，满分8分）
试求曲线
在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =
，N =
．
26．（本小题为选做题，满分8分）
用数学归纳法证明不等式：
．
A．必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1．
2．
3．共线 4．20 5．
6．
7．
8．2，5，10 9．16.4 10．1 11．7 12．
13．2 14．
二、解答题：
15．解：(1)
(2)
余弦定理
可得
又∵
∴
16．证明
(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∵CD
平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD
(2)取CD中点G，连EG、FG，
∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD
(3）解 当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD
证明 G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP
由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD
17．解：（1）依题意，
到
距离等于到直线
的距离，曲线
是以原点为顶点，为焦点的抛物线
曲线方程是
（2）设圆心
，因为圆
过
故设圆的方程
令
得：
设圆与
轴的两交点为
，则
在抛物线上，
所以，当运动时，弦长
为定值2
18．解（1）设日销售量为
则日利润
（2）
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 <x<41时，
∴当x=35时，L（x）取最大值为
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，
易知当x=a+31时，L（x）取最大值为
综合上得
19．解(1)据题意: 
可行域如图(暂缺)
的几何意义是定点
到区域内的点
连线的斜率
,
又
故的取值范围为
(2)当
有零点时,
,满足条件为
由抛物线的下方与
围成的区域面积
由直线
围成的区域面积
故有零点的概率
无零点的概率为
(3)
是
函数.
证明： 
符合条件．
因为
，
同理：
；
．
所以， 符合条件．
20．（1）解：由已知：对于
，总有
①成立
∴
（n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵
均为正数，∴
（n ≥ 2）
∴数列
是公差为1的等差数列
又n=1时，
，
解得
=1
∴
.()
（2）证明：∵对任意实数
和任意正整数n，总有
≤
.……6分
∴
(3)解：由已知 
，
易得 
猜想 n≥2 时，
是递减数列.
令
∵当
∴在
内
为单调递减函数.
由
.
∴n≥2 时, 
是递减数列.即是递减数列.
又
, ∴数列中的最大项为
.
B．附加题部分
三、附加题部分：
21．（必做题）（本小题满分12分）
解：（1）将
代入
得
，
由△
可知
，
另一方面，弦长AB
，解得
；
（2）当时，直线为
，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得
，
即
，即位于（4，4）点处．
22．（必做题）（本小题满分12分）
解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件
、
、
；
表示事件“恰有一人通过笔试”
则
（2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为
，
所以
，故
．
解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件
，
则
所以
，
，
．
于是，
．
23．（选做题）（本小题满分8分）
证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，
∵E是BD的中点，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，
∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，
∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，
则BF：FC=1：2；
（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，
则由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知
：
=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，
则
，则
=1：5．
24．（选做题）（本小题满分8分）
解：（1）消去参数
，得直线
的普通方程为；-----------------------2分
即
，
两边同乘以
得
，
消去参数
，得⊙的直角坐标方程为：
（2）圆心到直线的距离
，
所以直线和⊙相交．
25．（选做题）（本小题满分8分）
解：MN = 
=
，
即在矩阵MN变换下
，
则
，
即曲线
在矩阵MN变换下的函数解析式为
．
26．（选做题）（本小题满分8分）
证明：（1）当
时，左边＝
，时成立
（2）假设当
时成立，即
那么当
时，左边
时也成立
根据（1）（2）可得不等式对所有的
都成立