例1．如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD

例2．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

变式：

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点. 

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

题型二、空间角与距离

例3．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，， ， ，为的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

例4. 如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2

（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）求点E到平面的距离.

变式：

如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．

（1）求证：⊥面；

（2）求二面角的大小．

例5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．

（1）求证：平面PAD；

（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，  直线平面PCD？

变式：

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

(1)求证：AD^BC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.

例6．已知正方形  、分别是、的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为 

(1) 证明平面；

(2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值。 

变式：

如图，在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥CB，CD⊥P₁D，P₁D＝6，BC＝3，DC＝，A是P₁D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

题型五、多面体的组合问题

例7．是正四棱锥，是正方体，其中．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（Ⅲ）求到平面的距离．

变式：

如图4，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

题型六、表面积与体积问题

例8．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．

（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积．

变式：

正方体，，E为棱的中点．

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．