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内蒙古赤峰二中2009届高三3月统一考试
数学(理)
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一 。选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件
3 .在各项均为正数的等比数列{}中, 、是方程的两个根,则的值为
5.已知f(sinx+cosx)=tanx(x[0,π]),则f ()等于
6.一台计算机装置的示意图如图所示,其中、表示数据入口,C是计算结果的出口.计算过程是由、分别输入正整数和,经过计算机运算后由C输出的结果为正整数.此装置满足下列三个性质:①;②;③.现从输入5、输入6,则输出结果的值为
A.20
B.
7.棱长为3的正三棱柱内接于球O中,则球O的表面积为
8.已知A、B,以AB为一腰作使∠DAB=直角梯形ABCD,且,CD中点的纵坐标为1.若椭圆以A、B为焦点且经过点D,则此椭圆的方程为
9.已知O为直角坐标系原点,P、Q的坐标满足不等式组,则的最小值为( )
10 .袋中装有编号从1、2、3、4的四个球,四个人从中各取一个球,则甲不取1号球,乙不取2号球,丙不取3号球,丁不取4号球的概率
11.如图所示,O、A、B是平面上三点,向量在平面 AOB上,P为线段AB的垂直平分线上任一点,
12.已知函数的定义域为,部分对应值如下表,为的导函数,函数的图像如图所示.若两正数满足,则的取值范围是
-2
0
4
1
-1
1
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。请将答案直接填在题中横线上。
16.给出下列四个结论:
三、解答题:本大题共6个小题.满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)求二面角D-PC-A的大小的正切值;
(3)求点B到平面PCD的距离。
19.(本小题12分)袋中有形状大小完全相同的8个小球,其中红球5个,白球3个。某人逐个从袋中取球,第一次取出一个小球,记下颜色后放回袋中;第二次取出一个小球,记下颜色后,不放回袋中,第三次取出一个小球,记下颜色后,放回袋中,第四次取出一个小球,记下颜色后不放回袋中……,如此进行下去,直到摸完球为止。
(1)求第四次恰好摸到红球的概率;
(2)记ξ为前三次摸到红球的个数,写出其分布列,并求其期望Eξ。
20.(本小题满分12分)
一、选择题:
1.D 2.A 3 B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B 11.A 12.B
二、填空题:
三、解答题:
17.解:法(1):①∵=(1+cosB,sinB)与=(0,1)所成的角为
②令AB=c,BC=a,AC=b
∵B=,∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=,∵a,c>0。 (6分)
∴(a+c)2≤48,∴a+c≤,∴a+b+c≤+=(当且仅当a=c时取等号)
即2cos2B+cosB-1=0,∴cosB=或cosB=-1(舍),而B∈(0,π),∴B= (4分)
(2)令AB=c,BC=a,AC=b,ΔABC的周长为,则=a+c+
18.解法一:(1)∵PA⊥底面ABCD,BC平面AC,∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC
(2)∵AB∥CD,∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,又AD=CD=1
∴ΔADC为等边三角形,且AC=1,取AC的中点O,则DO⊥AC,又PA⊥底面ABCD,
∴PA⊥DO,∴DO⊥平面PAC,过O作OH⊥PC,垂足为H,连DH
由三垂成定理知DH⊥PC,∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角
∴二面角D-PC-A的大小的正切值为2。
(3)设点B到平面PCD的距离为d,又AB∥平面PCD
19.解:(1)第一和第三次取球对第四次无影响,计第四次摸红球为事件A
①第二次摸红球,则第四次摸球时袋中有4红球概率为
②第二次摸白球,则第四次摸球时袋中有5红2白,摸红球概率为
∴P(A)=,即第四次恰好摸到红球的概率为。(6分)(注:无文字说明扣一分)
(2)由题设可知ξ的所有可能取值为:ξ=0,1,2,3。P(ξ=0)=;
ξ
0
1
2
P
…………13分
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2)设CD中点M(x0,y0),
联立直线与双曲线的方程得,整理得(1-3k2)x2-6kmx
(2)(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均为增函数,在(-2,1)上为减函数。
(i)当m>1时,f(x)在[m,m+3]上递增。故f(x)max=f(m+3),f(x)min=f(m)
由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=
(ii)当0≤m≤1时,f(x)在[m,1]上递减,在[1,m+3]上递增。
∴f(x)min=f(1),f(x)max={f(m),f(m+3)}max
又f(m+3)-f(m)=
∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1) ≤f(4)-f(1)=恒成立
故当0≤m≤1原式恒成立。 (8分)
综上:存在m且m∈[0,1]合乎题意。 (9分)
假设n=k(k≥2,k∈N*)时,ak>2。则ak+1=f(ak)>f(2)=8>2
故对于一切n(n≥2,n∈N*)均有an>2成立。 (11分)
当x∈(0,2)时(x)<0,x∈(2,+∞)时,(x)>0,
而g(2)=8-8ln2>0,即当x∈[2,+∞时,g(x)≥g(2)>0恒成立。
∴g(an)>0,(n≥2)也恒成立。即:an+1>8lnan(n≥2)恒成立。
而当n=1时,a2=8,而8lna1≤0,∴a2>8lna1显然成立。
综上:对一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。
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