天津市和平区2008-2009学年度高三第二学期第一次质量调查
数学理
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷
本卷共10小题，每小题5分，共50分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数
等于
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 设变量x，y满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 设集合
，则
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 在等比数列
中，
，且
，则
等于
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 过点
作直线l与圆
交于A、B两点，如果|AB|=8，则直线l的方程为
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 如图，在正四面体
中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是
C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC
7. 已知函数
的最小正周期为
，则该函数的图象
A. 关于直线
对称 B. 关于点
对称
C. 关于直线
对称 D. 关于点
对称
8. 
的值是
A. 
B. C. 
D. 
9. 如图，F为抛物线
的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若
，则
等于
A. 6 B.
10. 已知0<a<b，且a+b=1，下列不等式成立的是
A. 
B. 
C. 
D. 
第II卷
本卷共12小题，共100分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。
11. 某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则n等于________。
12. 在如下图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s的结果是________。
13. 在
的展开式中，
的系数是________（用数字作答）。
14. 已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则
的值为________。
15. 有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种（用数字作答）。
16. 如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D。若
，则BD的长为________；AC的长为________。
三、解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
在△ABC中，
。
（I）求cosC；
（II）设
，求AB。
18. （本小题满分12分）
在4名男生和3名女生中挑选3人参加志愿者服务活动。
（I）求至多选中1名女生的概率；
（II）记女生被选中的人数为随机变量
，求的分布列和数学期望。
19. （本小题满分12分）
如图，正四棱锥P―ABCD的底面边长与侧棱长都是2，点O为底面ABCD的中心，M为PC的中点。
（I）求异面直线BM和AD所成角的大小；
（II）求二面角M―PB―D的余弦值。
20. （本小题满分12分）
已知等差数列的前三项为
，记前n项和为
。
（I）设
，求a和k的值；
（II）设
的值。
21. （本小题满分14分）
设A、B分别为椭圆
为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距。
（I）求椭圆的方程；
（II）设
，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。
22. （本小题满分14分）
已知函数
。
（I）求
的值域；
（II）设
，函数
。若对任意
，总存在
，使
，求实数a的取值范围。
一、选择题
1. B 2. C 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. C 9. A 10. D
二、填空题
11. 192 12. 286 13. 
14. 
15.
840 16. 
三、解答题
17. （本题12分）
解：（I）
2分
（II）
8分
由已知条件
根据正弦定理，得
10分
12分
18. （本题12分）
解：（I）在7人中选出3人，总的结果数是
种， （2分）
记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A，则A包含两种情形：
①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是
，
②被选中的是3名男生的结果数是
4分
至多选中1名女生的概率为
6分
（II）由题意知随机变量
可能的取值为：0，1，2，3，则有
，
8分
∴
0
1
2
3
P
10分
∴的数学期望
12分
19. （本题12分）
解：（I）连接PO，以OA，OB，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系。 2分
∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2。
∴
∴
（II）∵
∴
是平面PDB的一个法向量。 8分
由（I）得
设平面BMP的一个法向量为
则由
，得
，不妨设c=1
得平面BMP的一个法向量为
10分
∵二面角M―PB―D小于90°
∴二面角M―PB―D的余弦值为
12分
20. （本题12分）
解：（I）由已知得
2分
由
，得 4分
即
。解得k=50或
（舍去）
6分
（II）由
，得
8分
9分
是等差数列
则
11分
12分
21. （本题14分）
解：（I）依题意得
2分
把
解得
∴椭圆的方程为
4分
（II）由（I）得
，设
，如图所示，
∵M点在椭圆上，
∴
①
∵M点异于顶点A、B，
∴
由P、A、M三点共线，可得
，
从而
7分
∴
② 8分
将①式代入②式化简得
10分
∵
∴
12分
于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
∴点B在以MN为直径的圆内。 14分
22. （本题14分）
解：（I）
，
令
2分
而
∴当
4分
（II）设函数g(x)在[0，2]上的值域是A，
∵若对任意
∴
6分
①当
，
∴函数
上单调递减。
∵
∴
； 8分
②当
令
（舍去） 9分
（i）当
时，
的变化如下表：
（ii）当
∴函数g(x)在（0，2）上单调递减。
综上可知，实数a的取值范围是