河北省邢台市2009年高三年级模拟考试
理科数学试题
注意事项：
1．本试卷共三道大题，总分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填在答题卡指定位置。
3．选择题每小题选出答案后，涂在答题卡对应位置，答在试题卷上无效。
4．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。考试结束后，只上交答题卡。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若复数
是纯虚数（
是实数，
是虚数单位）则=（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设
为函数
（
）的图像与其反函数
的图像的一个交点，则（ ）
A．
，
B．，
C．
，
D．，
4．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．由
展开所得的
的多项式中，系数为有理数的共有（ ）
A．15项 B．16项 C．17项 D．18项
6．设
、
是两条不同的直线，
、
、
是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若
，
，则
；②若
，
，，则
；③若
，，则
；④若
，
，则。其中正确命题的序号是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
7．若关于的不等式
的解集为
，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在
中（
为坐标原点），
，
，若
，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．正方体
的八个顶点都在球的表面上，E、F分别是棱
、
的中点，且直线
被球截得的线段长为
，则该正方体的棱长为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知抛物线
（
）的焦点F恰好是椭圆
的右焦点，且两条曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设
是公差为正数的等差数列，若
，
，则
（ ）
A． B． C．
D．
12． 给出定义：若
（
），则叫做离实数最近的整数，记作
，即
。在此基础上有函数
（
）。对于函数
给出如下判断：①函数
是偶函数；②函数是周期函数；③函数在区间
上单调递增；④函数的图像关于直线
（
）对称。
则以上判断中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知
，
，
则
=
。
14．已知
是半径为
的⊙的直径，
，
、
是
圆上两点，且
，
，沿
将半圆
折成一个直二面角，则、两点间的距离为 。
15．已知、
满足
，则
的最小值是
。
16．如右图所示，画中的一朵花由五片花瓣组成，现有四种不同颜色
的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色。若
涂完的画中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同的涂法种数为
。
三、解答题（本大题共6个小题．共70分．解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题共10分)设
的内角A、B、C所对的边长分别为
、、
，已知
，
。
（1）求边长的值；
（2）若的面积
，求的周长
。
18．(本小题共12分)如图所示，在棱长为2的正方体
中，E、F分别为
和
的中点。
(1)求证：
平面
；
(2) 若在棱
上存在一点，使得二面角
的大小为30°，试求出
的长。
19．(本小题共12分)在甲乙两只不透明的布袋中装有若干个均匀的红球和白球．从甲袋中摸出一个红球的概率是
，从乙袋中摸出一个红球的概率
(以下问题中的摸球均指有放回地摸球，每次摸一个) ．
(1)从甲袋中摸球，有2次摸到红球即停止，求恰好摸完第四次就停止的概率；
(2) 从甲袋中摸球，记4次之内(含4次)摸到红球的次数为
，求随机变量的概率分布及期望．
20．(本小题共12分)已知函数
。
(1)求函数在
上的最大值、最小值；
(2)设
，如果函数
的图象在函数
的图象的下方，则称函数在区间
上被函数覆盖，求证：函数在区间
上被函数
覆盖．
21．(本小题共12分)数列中，
，
（
）。
(1)设
，求证数列
是等比数列，并求其前项和；
(2)设
，若数列的前项和为
，求证：
。
22．(本小题共12分)已知双曲线
（
，
），其准线交轴于点
，双曲线虚轴的下端点为
，过双曲线的右焦点
作垂直于轴的直线交双曲线于点，若点满足
（为原点），且
（
）。
(1)求双曲线的离心率；
(2)若
，过点的直线交双曲线于
、
两点，问在轴上是否存在定点
使
为常数？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。
