2009年威海市普通高中毕业年级统一考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页．共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
答题可能用到大参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积的体积公式
如果事件互相独立，那么
其中
表示球的半径
如果事件A在一次实验中发生的
概率是
，那么它在
次独立重复 
实验中恰好发生
次的概率
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线
与
轴围成的封闭图形的面积是
A．1
B．
2．复数
（
为实数，
是虚数单位）且
，则的值为
A．1
B．
D．不存在
3．
的展开式中
的系数为
A．240
B．
4．已知
则
的最小值是
A．8
B．
5．经过抛物线
的焦点且平行于直线
的直线的方程是
A．
B．
C．
D．
6．如果命题“
”是真命题，则正确的是
A．
、
均为真命题
B．、中至少有一个为真命题
C．、均为假命题
D．、中至多有一个为真命题
7．等差数列
的前
项和为
在等比数列
中，
，
，则
的值为
A．3 B．2
C．
D．
8．某同学对下表所示的统计数据进行分析：
观测次数
1
2
3
4
5
6
7
观测数据
48
43
47
41
46
40
43
其中一部分计算见右图所示的算发流程图，则输出的
的值是
A．7 B．8
C．9 D．72
9．已知直线
、，平面
、
，下列命题中正确的是
A．若
B．若
C．若
D．若
10．若函数
的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
，直线
是其图象的一条对称轴，则它的解析式是
A．
B．
C．
D．
11．已知
则
的值是
A．
B．
C．
D．
12．右图是函数
的部分图象，
则函数
的零点所在的
区间是
A．
B．
C．
D．
2009年威海市普通高中毕业年级统一考试
理 科 数 学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
13．右图是某地10000名居民
的月收入调查数据频率分
布直方图，现要从这些人
中再用分层抽样方法抽出
100人作进一步调查，则
在
（元）收
入段应抽出_________人。
14．以双曲线
的焦点为圆心且与它的渐近线相切的圆的半径为_________。
15．已知、
为正实数，且
则
的最小值是_______________。
16．右图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在
中，角
、
、
的对分别是、
、
，且向量
（I）求角；
（Ⅱ）若三边、、成等差数列，
，求。
18．（本小题满分12分）
中国篮球职业联赛（CBA）某赛季总决赛在某两队之间进行，比较采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为而分之一，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元。
（I）若组织者在此次决赛中获得的门票收入恰好为300万元，问此次决赛共比赛了多少场？
（Ⅱ）求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为多少？
19．（本小题满分12分）
如图，已知直四棱柱
，底面
为平行四边形，
，且
、
、
三条棱的长组成公比为
的等比数列。
（I）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
20．（本小题满分12分）
已知函数
的定义域为
，
且
。
（I）若函数
在
上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）求证：
21．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，离心率为，且过点
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若过点（0，-6）的直线
与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以、为直径的圆过椭圆的右顶点，求直线的方程。
22．（本小题满分14分）
设数列满足
（I）求证：
（Ⅱ）求证：
；
2009年威海市普通高中毕业年级统一考试
理科部分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
BAACA CDBCD AC
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．25 14．
15．8
16．
三、解答题
17．（本小题满分12分）
解：（I）
（Ⅱ）
18．（本小题满分12分）
解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，
设此数列为
，则易知
此次决赛共比赛了5场。
（Ⅱ）由
若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场。
①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2：3，且第6场比赛为领先一场的
球队获胜，其概率
②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3：3，则概率
门票收入不少于390万元的概率为
19．（本小题满分12分）
解：方法一（向量法）；
（I）证明：以
点为原点，棱
所
在的直线分别为
轴和
轴建立空间直角坐标系
（右手系），设
，则
，
又已知
，可求得以下各点的
坐标为
（Ⅱ）
已知
是直四棱柱，
，又由（I）知
，
即是平面
的法向量。
设平面
的法向量为
则
且
由图形可知，二面角
的平面为锐角，
二面角的大小为 
方法二（综合法）：
（I）
是直四棱柱，
（Ⅱ）在
内，过
点作
的垂线， 交
点，连结
。
由（I）知
垂线定理知，
就是二面角的平面角。
同（I）一样，不妨设
在
内，
二面角的大小为
20．（本小题满分12分）
解：（I）
令
显然当
（Ⅱ）①当
时， 函数
在
上是单调减函数，
在
上的最小值 ， 
又
综上，对任意
本问也可以这样证：
（Ⅱ）函数在
上单调递增，在
和上单调递减，
对任意
21．（本小题满分12分）
解：（I）设椭圆
的方程为
椭圆方程化为
将点
代入，解得
，椭圆的方程为
（Ⅱ）显然，直线
存在斜率（否则不满足题意，5分），设其斜率为，则直线的方程为
。代入椭圆的方程，消去
并整理得
由方程判别式
， 得
①
设
两点的坐标为
，则由韦达定理得
将上面使用韦达定理所得的结果代入，并去分
母整理（注意在方程两边先约去9可以简化计算）得
检验①式，均符合；再检验当
时，直线是否与椭圆相交于左右两个顶点，显然直线
过椭圆的右顶点。
不满足题意，舍去 
直线的方程为
22．（本小题满分14分）
解：（I）方法一：当
时，显然由已知可得
成立。
假设
时成立，即
则当
时，根据题意有
当时，成立。
根据数学归纳法可知，对任意
，成立
方法二：
……，
， 将这
个等式累乘（相乘），得
将
代入得 
检验当时，上式也成立， 
方法三：
