江苏省四星级高中通州中学高三数学(文科)调研试卷答案

1、　　　 2、　　　 3、　　　 4、　　 5、　　 6、40

7、76　　 8、3　　 9、　　 10、　　 11、　　 12、

13、　　　 14、②④

15、解：(1)设b=(x,y)， a.b=－1 有x+y=－1　 ①……………………2分

又b与a的夹角为，所以a.b=| a||b|π，的以x²+y²=1　　 ②

由①②解得

故b=(－1,0)或b=(－1,0).…………………………………………7分

　　 (2)由向量b与q垂直知b=(0，－1)，由…………9分

　　　　　　　 又因为b+q=

　　　　　　　 所以|b+q|²=

　　　　　　　 故当时，|b+p|取得最小值为………………14分

16、解(1)　　　　 ………………　　 4分

　　　　 (2)由消去y得

　　　　 ①

设则　 ………………6分

　　　 8分

令

当　　 ………………　 11分

解得:

　　　　　　　　　　 ………………　 13分

由①式

　………………　 14分

17、证明：(Ⅰ)∵，∴．

∵三棱柱为直三棱柱，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵，∴平面．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵平面，∴，

∵，则．　　　　　　 ……4分

在中，，，∴．

∵，∴四边形为正方形．

∴．　　　　　　　　　 ……6分

∵，∴平面．　　　　　　　　　　 ……7分

(Ⅱ)当点为棱的中点时，平面．　　　　 ……9分

证明如下：

　　　 如图，取的中点，连、、，

∵、、分别为、、的中点，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．　　　　　　　 ……12分

同理可证平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，

∴平面．　　　　　　　　　　 ……14分

18、解：当．　　　　　　　　　 ……2分

令，得，或．

且， ．　　　　　 ……6分

(Ⅰ)当时，．

当变化时，、的变化情况如下表：

		0
	+	0	－	0	+

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……10分

∴ 当时，在处，函数有极大值；在处，函数　有极小值．　　　　　　 　……12分

(Ⅱ)要使函数有三个不同的零点，

必须．　　　　　　　　 ……14分

解得．

∴当时，函数有三个不同的零点．　　　　　 ……16分

19、解：(I)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，……第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x－1天.

∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用

(元)……………6分)

(Ⅱ)由上问可知，购买依次原材料的总的费用为元，

∴购买依次原材料平均每天支付的总费用

∴取等号.

∴该厂10天购买依次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元.……10分

(Ⅲ)按此优惠条件，则至少15天购买一次原材料，又由上问可知，按此优惠条件购买一次原材料的总的费用为元，其中x≥15.

∴购买一次原材料平均每天支付的总费用

当x≥15时，上是增函数.

∴当x=15时，y取最小值，最小值为(元)

∴按此优惠条件，该厂15天购买依次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，最少为634元.……………………………………………………………………16分

20、解：(1)由已知，当n＝1时，a₁³＝a₁²,

又∵a₁>0,∴a₁＝1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³＝S_n²①

a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n－1³＝S_n－1²②　　　　　　　　　　 ……………　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

由①②得，a_n³＝(S_n－S_n－1)(S_n－S_a－1)(S_a+S_a－1)＝a_n(S_n+S_n－1)．

∵a_n>0,∴a_n2＝S_n+S_n－1,

又S_n－1＝S_a－a_a,∴a_n²＝2S_n－a_n．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

当n＝1时，a₁＝1适合上式．

∴a_n²＝2S_n－a_n．　　　　　　　　　　　　　　　 ……………　　　　　　　　　　 7分

(2)由(1)知，a_n²＝2S_n－a_n,③

当n≥2时，a_n－1²＝2S_n－1－a_n－1,④　　　　　 ……………　　　　　　　　　　 9分

由③④得，a_n²－a_n－1²＝2(S_n－S_n－1)－a_n+a_n－1＝a_n+a_n－1．…………　　　　 10分

∵a_n+a_n－1>0,∴a_n－a_n－1＝1,数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．　 11分

∴a_n＝n．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

(3)∵a_n＝n．,∴b_n＝3n+(－1)^n－1λ.2ⁿ．

要使b_n+1>bn恒成立，

b_n+1－b_n＝3ⁿ⁺¹－3n+(－1)ⁿλ.2n+1－(－1)^n－1λ.2n＝2×3n－3λ(－1)^n－1.2n>0恒成立，　　　　　 13分

即(－1)^n－1λ<()^n－1恒成立．

ⅰ。当n为奇数时，即λ<()^n－1恒成立．

又()^n－1的最小值为1．∴λ<1．　　　　　　　 ……………　　　　　　　　　　 14分

ⅱ。当n为偶数时，即λ>－()恒成立，

又－()^n－1的最大值为－，∴λ>－． ……………　　　　　　　　　　 15分

即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，

∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有b_n+1<b_n． …………… 16分