1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法--化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．

2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

3．注重三角函数与代数、向量、几何及实际问题中的应用，能利用三角函数相关知识解决综合问题.

例1．扇形的中心角为，半径为　，在扇形中作内切圆及与圆外切，与相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？

解：设圆及与圆的半径分别为，

则，得，

∴，

∵，∴，令，

，当，即时，

圆的半径最大，圆的面积最大，最大面积为．

　　　 例2、(05天津)已知，求及．

[解析]解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

，即　　　　　　　 ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①和②式得，

因此，，由两角和的正切公式

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，

解得　，即

由可得

由于，且，故a在第二象限于是，

从而

以下同解法一

[点评]1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系(均含)进行转换得到．

2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．

例3：设0<θ<，曲线x²sinθ+y²cosθ＝1和x²cosθ－y²sinθ＝1有4个不同的交点.

(1)求θ的取值范围；

(2)证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围.

解：(1)解方程组，得

故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，(0<θ<)0<θ<.

(2)设四个交点的坐标为(x_i，y_i)(i＝1，2，3，4)，

则：x_i²+y_i²＝2cosθ∈(，2)(i＝1，2，3，4).

故四个交点共圆，并且这个圆的半径r＝cosθ∈().

评注：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查.

例4：设关于x的方程sinx+cosx+a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.

(Ⅰ)求α的取值范围;　 (Ⅱ)求tan(α+β)的值.

解: (Ⅰ)∵sinx+cosx＝2(sinx+cosx)＝2 sin(x+),　

∴方程化为sin(x+)＝－.

∵方程sinx+cosx+a＝0在(0, 2π)内有相异二解,

∴sin(x+)≠sin＝　.

又sin(x+)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解),

　∴|－|<1 . 且－≠. 即|a|<2

且a≠－.　 ∴　 a的取值范围是(－2, －)∪(－, 2).　　　

　(Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα+cosα+a＝0　 ①.　　

sinβ+cosβ+a＝0　　　 ②.

①－②得(sinα－ sinβ)+( cosα－ cosβ)＝0.

∴ 2sincos－2sin

sin＝0, 又sin≠0, ∴tan＝.

∴tan(α+β)＝＝.

[点评]要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.

例5　 已知函数的最小正周期为，其图像过点.

(Ⅰ) 求和的值;(Ⅱ) 函数的图像可由(x∈R)的图像经过怎样的变换而得到?

解: (Ⅰ) 函数的最小正周期为， .　

. .　

的图像过点, , 即.

,　　 .

(Ⅱ)先把的图像上所有点向左平移个单位(纵坐标不变),得到函数的图像,

再把所得的函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到函数的图像.

[点评]三角函数图像及其变换是当前考查热点，其书写的规范性是考生必须高度重视的.

　　　 例6、(2007年湖南卷文16)

已知函数．求：

(I)函数的最小正周期；

(II)函数的单调增区间．

解：

．

(I)函数的最小正周期是；

(II)当，即()时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是()．

[点评]本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质以及推理和运算能力．

例7 、已知：

(1)请说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到；

(2)设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A₁、A₂、A₃、A₄、…、…_、，试求A₄的坐标。

解：(1)　

∴　

所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

　　　 (2)∵函数图象的对称中心为，　

由得函数的对称中心为，

依次取1，2，3，4……可得A₁、A₂、A₃、A₄……各点，

∴A₄的坐标为　

例8、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC＝a，∠ABC＝，设△ABC的面积为S₁，正方形的面积为S₂．

　 (1)用a，表示S₁和S₂；

(2)当a固定，变化时，求取最小值时的角

解(1)∵　

∴

设正方形边长为x.

　　　 则BQ＝　

(2)当固定，变化时，

令

　 　　令　 任取，且，

．

，

是减函数．取最小值，此时

1.三角函数恒等变形的基本策略。

(1)常值代换：特别是用“1”的代换，如1＝cos²x+sin²x＝tanx.cotx＝tan45°等。

(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin²x+2cos²x＝(sin²x+cos²x)+cos²x＝1+cos²x；

配凑角：α＝(α+β)－β，β＝－等。

(3)升幂与降幂。

(4)化弦(切)法。

(5)引入辅助角。asinθ+bcosθ＝sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan＝确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

(2)证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

5．高考考点分析

2005－207年各地高考中本部分所占分值在14-20分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。

1．(2007年全国高考题)函数f (x) ＝ | sin x+cos x |的最小正周期是　　 (　 )

A．　 　　　　　　　　　　　 B．　 　 　　　　　　　　　　 C．π　 　　　　　　　　　　　 D．2π

2．若的终边所在象限是　 (　 )

A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限　　　　　　　 C．第三象限　　　　　　　 D．第四象限

3．已知函数，则下列判断正确的是(　　 )

　 (A)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

　 (B)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

　 (C)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

　 (D)此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是

4．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，( 　)

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

5．函数的部分图像如图所示，则函数表达式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

(A)　　　　　　　　

(B)

(C)　　　　　　　　

(D)　

6．设是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

　　　 经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 (A)　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　 (D)

7．将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为(　　 )．

A．　　 　 B．　　　 　 C．　　 　　　　　 D．

8．已知k＜－4，则函数y＝cos2x+k(cosx－1)的最小值是(　　 )

(A) 1　　 (B) －1　　 (C) 2k+1　　 (D) －2k+1

9.使(ω＞0)在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为(　　　 )

A．　　　　 B．　　　　　　　 C．π　　　　　　　　　 D．

10. 在△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC等于　　　　　　 (　　 )

A．　　　 B．　　　　　　　　　　　　　　　　 C． 或　　　 D．

11．当时，函数的最小值为　　 (　 )

(A)2　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　 (C)4　　　　　　　　　　　　 (D)

12．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，(　 )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

13.若－，∈(0，π)，则tan＝　　　　　　　　　 。

14.，则范围　　　　　　　　　　 。

15.下列命题正确的有_________。

①若－＜＜＜，则范围为(－π，π)；

②若在第一象限，则在一、三象限；

③若＝，，则m∈(3，9)；

④＝，＝，则在一象限。

16．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米(P在水面下则d为负数)，则d(米)与时间t(秒)之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A＝10；②；③；　④k＝5．　　 则其中所有正确结论的序号是　　　　　　　 　．

17． 化简： ．

18．已知，，，求的值．

19．设函数图像的一条对称轴是直线。

(Ⅰ)求；(Ⅱ)求函数的单调增区间；

(Ⅲ)画出函数在区间上的图像。

20.一条直角走廊宽1.5米，如图所示．现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米，问要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？

21. 在 △ABC 中，已知角 A 为锐角，且

．

(Ⅰ)求 　的最大值；

(Ⅱ)若 ，，，求 △ABC 的三个内角和 AC 边的长．

22. 设函数．

(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间；

(Ⅱ)当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．

23.设函数的图象过点P(0，1)，且　的最大值是2，最小值为－2，其中.

　 (1)求表达式；

　 (2)若射线图象交点的横坐标，由小到大依次为　求的值.

(四)、创新试题

例9、已知奇函数f(x)的定义域为实数集,且f(x)在上是增函数，当时，是否存在这样的实数m，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由。

解：为奇函数，

又在上是增函数，且是奇函数　 是R上的增函数，

　 ，令

满足条件的应该使不等式对任意均成立。

设，由条件得

或　 或　 解得，或

即存在，取值范围是

例10、已知函数其中为参数，且

(1)当时，判断函数是否有极值；

(2)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。

解：(1)当时则在内是增函数，故无极值。　

　　　 (2)令得　　　

　　　 由及(I)，只需考虑的情况。

　　　 当变化时，的符号及的变化情况如下表：

		0
	+	0	－	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

　　　 因此，函数在处取得极小值且

　　　 要使必有可得所以　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 (3)由(2)知，函数在区间与内都是增函数。

　　　 由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组

　　　　　　　 　　或

　　 由(II)，参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有综上，解得或所以的取值范围是