如右图所示，a、b是两异面直线，是　　　 a　　　 E　　

a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则　　　　　

异面直线 a与b之间的距离是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 b　 F

例1、如下图，正四棱锥S-ABCD的高SO=2，底边长，求异面直线BD和SC之间的距离.

分析：建立如图所示的直角坐标系，则

，，

，，.，

.令向量，且，则，，，，.异面直线BD和SC之间的距离为：

.

例2、如下图，正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M、N分别为AA₁，BB₁的中点，

求(1)CM与D₁N的余弦值；

(2)异面直线CM与D₁N的距离。(2004年广州调研试题)

分析(2)：建立如图所示右手直角坐标系，则C(0,2,0)、D₁(0，0，2)、M(2，0，1)、N(2，2，1)

，　　　　 D₁　　　　 C₁

设法向量　A₁ 　　　　　B₁

则　　　 2x-2y+z=0　　　　 x=0　　 M　 D　　　　 N　 C

2x+2y-z=0　　　 z=2y　　 A　　　　　　　 B

令y=1得，依公式得异面直线CM与D₁N的距离是

如右图所示，已知AB是平面α的　　　　

一条斜线，为平面α的法向量，则　　　　　　　　 C　 B

A到平面α的距离为　　　　 α　

例3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

分析：建立如图所示右手直角坐标系，　　　　　　　　　　　　　 G

则E(4，-2，0)，F(2，-4，0)，　　　　　　　　 E　 D　 　　　　C

G(0，0，2)，B(4，0，0)，　　　　　　　　 A　　 F　　 B

=(0，-2，0)，=(-4，2，2)，=(-2，4，2)，设平面EFG的法向量=(x,y,z)，则由，得

　　　 -4x+2y+2z=0　　　　　 x= 　　

-2x+4y+2z=0　　　　 y=　

不妨设z=3，则=(1，-1，3),所以依公式可得所求距离为

首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。

例4、已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，且PA=2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离。

分析：因为AE∥平面α，所以将AE与平面α的距离转化成点A到平面α的距离，建立如图右手直角坐标系，　

　则A(0，0，0)，P(0，0，2)，　　　　　

E(，0，0)，F(，，0)，　　　　　　　 P

,,　　　　　　　 A　　 F

,设法向量=(x,y,z)，　 B　 E　　　　 C

则由，得，

　 　　　　　　　　　x=0

　　　　　　 不妨设防z=1，则=(0，，1),所以依公式可得所求距离为

首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。

例5、　 棱长为的正方体中.求证：平面AB₁C∥平面；

(1)　 求平面与平面间的距离.

分析(2)：建立如图所示的直角坐标系，

则A、D、A₁、C₁的坐标分别是

(1，0，0)、(0，0，0)、(1，0，1)、

(0，1，1)，∴，

，，将平面与平面间的距离转化成点A到平面的距离。设平面的一个法向量，

则，即，

，平面与平面间的距离

如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平

面α与β所成的角跟法向量与　　　 α　

所成的角相等或互补，所以首先　　　　 　　β

必须判断二面角是锐角还是钝角。　　　　　　　

例6、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，sin∠ADC=，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面角的余弦值。

分析：依题意，先过C点CE⊥AD，计算得ED=2a，BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系，则P(0，0，a),D(0,3a,0)，　　　 P

C(a,a,0),,　　　　　　　 A　　　　 E　　　　 D

,,　　 B　　　　 C

取平面ACD的一个法向量，设平面PCD的法向量是、，所以得　　　　　　　　　　

　 　　　　　　　

　　 　　　　 所以不妨取得，从而计算得

易得二面角P-CD-A的平面角是锐角，所以其角的余弦是

如图，要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者

例7、如下图，已知正四面体ABCD的边长为2，E为AD的中点，求EC与平面BCD所成的角。

分析：作AO⊥平面BCD，连结OD，并且　　　　　　　　　　　 A

过O作OF∥BC交CD于F，建立如图所　　　　　　　　　　　　 E

示右手直角坐标系，则O(0，0，0)，　　　　 B　　　 O　　　　　 D

E(0，，), 　　　C　　　　 F

易取得平面BCD上的一个法向量，所以，观察与的方向，易知EC与平面BCD所成的角是

如果有一向量垂直于平面α，则向量叫做平面α的法向量。要证两个平面平行，只需证这两个平面同时垂直于它们的法向量。

例8、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C

分析：作如图所示右手直角坐标系，　　　　 D　　　　　　 C

则各点坐标是A₁(1，0，0)，　　　　　 A　　　　　 B

D₁(0，0，0)，B₁(1，1，0)，　　　　　　 D1　 　　　　　C1

B(1，1，1)，D(0，0，1)，　　　　 A1　　　　 B1

C(0，1，1) ，则=(0，1，1)，

　=(-1，-1，0)，设平面A₁BD有一法向量=(x,y,z)，则

　　　 y+z　　　　　　 -x +-y =0　　　　　　　　

　 x=z　　　　　　 y=-z　　　　　　　　　 

不妨取z=1，则=(1，-1，1) ，又由=(-1，-1，0)，　=(0，1，1)，易知=, =,所以与都与垂直，所以与平面B₁D₁C垂直，从而得到平面A₁BD∥平面B₁D₁C

要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明这两个法向量相互垂直。

例9、　 如右图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，

BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点。　　　　　 E

求证：(1)DE=DA；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 M　　　　　 D

(2)平面BDM⊥平面ECA；　　　　　　　　　 C　　　　　　　　 B

(3)平面DEA⊥平面ECA；　　　　　　　　　　　　　 A

分析(3)：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2，则CE=2，BD=1，C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，　，　，　， 分别假设面CEA与面DEA的法向量是、，所以得　　　　

　　 　　　　　

　　 　　　　　　　　　

　　 　　　　　

　 　　　　　　　　

不妨取、，从而计算得，所以两个法向量相互垂直，两个平就相互垂直。

　 事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深。