配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且需要“凑(拆)”而“配”。
Ⅰ、再现性题组:
1. 在正项等比数列{a}中,asa+2asa+aa=25,则 a+a=_______。
2. 方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
A. <k<1 B. k<或k>1 C. k∈R D. k=或k=1
3. 已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为______。
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
4. 函数y=log (-2x+5x+3)的单调递增区间是_____。
A. (-∞, ] B. [,+∞) C. (-,] D. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a=_____。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
[分析] 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。
[解]=…
例2. 设方程x+kx+2=0的两根为p、q,若()+()≤7成立,求k的取值范围。
[解] 由韦达定理得:p+q=-k,pq=2 ,
()+()====≤7, 解得k≤-或k≥ 。
又 ∵p、q为方程两实根, ∴ Δ=k-8≥0
∴k的取值范围是:-≤k≤- 或者 ≤k≤
[注] 实系数一元二次方程问题,注意Δ,恰当运用韦达定理;由已知的不等式联想到配方,表示成p+q与pq的组合式。
例3. 设非零复数a、b满足a+ab+b=0,求()+() 。
[分析] 对已知式可以联想:变形为()+()+1=0,则=ω (ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)=ab 。则代入所求式即得。
[解]
[注] 配方,简化表达式;巧用1的立方虚根,计算高次幂;活用ω的性质。
[另解] 解出=…后,用三角形式完成后面的运算:
Ⅲ、巩固性题组:
1. 函数y=(x-a)+(x-b) (a、b为常数)的最小值为_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
2. α、β是方程x-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. - B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R,且满足x+3y-1=0,则函数t=2+8有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4. 椭圆x-2ax+3y+a-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上,则a=_____。
A. 2 B. -6 C. -2或-6 D. 2或6
5. 化简:2+的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4 D. 4cos4-2sin4
6. 设F和F为双曲线-y=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠FPF=90°,则△FPF的面积是_________。
7. 若x>-1,则f(x)=x+2x+的最小值为___________。
8. 已知〈β<α〈π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值。(92年高考题)
9. 设二次函数f(x)=Ax+Bx+C,给定m、n(m<n),且满足A[(m+n)+ mn]+2A[B(m+n)-Cmn]+B+C=0 。
① 解不等式f(x)>0;
② 是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。
10. 设s>1,t>1,m∈R,x=logt+logs,y=logt+logs+m(logt+logs),
① 将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;
② 若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。