Question

12．如图为半圆柱形玻璃砖的横截面，其圆心为O、半径为R，MN为横截面的直径．一束与MN成45°的平行光束射到玻璃砖的上表面，经折射后，有部分光能从半圆（弧）上射出．已知玻璃的折射率为$\sqrt{2}$，不考虑二次反射，求：
（1）光发生全反射的临界角；
（2）半圆弧上有光射出的范围对应的圆心角．

Answer 1

分析 （1）根据sinC=$\frac{1}{n}$求光发生全反射的临界角；
（2）半圆弧上有光射出时没有发生全反射，这个范围的边界上恰好发生全反射，入射角等于临界角C，结合几何关系求对应的圆心角．

解答 解：（1）根据sinC=$\frac{1}{n}$得：sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以临界角 C=45°
（2）如图所示，由折射定律得：
    n=$\frac{sin45°}{sinr}$
得：sinr=$\frac{1}{2}$，r=30°，即所有折射光线与法线的夹角均为30°
对于从MO间入射的光线，设在E点发生折射的折射光线为EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有∠MAO=C=45°
所以∠MOA=90°+r-C=90°+30°-45°=75°
当∠MOA＜75°时，发生全反射不能从$\widehat{MA}$间半圆柱面射出
对于从ON间入射的光线，设光线FC刚好在C点发生全反射，则有∠FCO=45°
此时∠FOC=180°-90°-r-C=90°-30°-45°=15°
故能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在$\widehat{AC}$区域上，设其对应的圆心角为φ，则 φ=165°-75°=90°
答：
（1）光发生全反射的临界角是45°；
（2）半圆弧上有光射出的范围对应的圆心角是90°．

点评 本题的关键要掌握光的折射及全反全射定律，要注意发应全反射的边界光线的确定，作出光路图即可求解．