Question

为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为的粗糙倾斜轨道，通过水平轨道与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道，整个轨道除 段以外都是光滑的。其与 轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度v₀＝4.0m/s从某一高处水平抛出，到点时速度方向恰好沿 方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数 μ = 0.50．（＝10m/s²、sin37°＝0.60、cos37°＝0.80）

⑴求小物块到达点时速度。
⑵要使小物块不离开轨道，并从轨道滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？
⑶为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

Answer 1

⑴v_A=" 5" m/s⑵R₁ ≤ 0.66m⑶R₂ ≥ 1.65m

⑴ 小物块先做平抛运动，然后恰好沿斜面AB方向滑下，
则v_A = v₀ / cos37°                 （2分）
得v_A=" 5" m/s，                    （1分）
⑵ 物体在斜面上到的摩擦力F _f = μF_N = μmgcos37°    
设物块到达圆轨道最高点时的最小速度为v₁，轨道半径为 R₀，
则mg = mv₁²/R₀                                       （1分）
物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，根据动能定理有：
mg(h + lsin37° – 2R₀) – μmgcos37°·l = mv₁²/2 – mv₀²/2.            （2分）
联立上式，解得R₀ = 0.66m                                   （1分）
若物块从水平轨道 DE 滑出，圆弧轨道的半径满足 R₁ ≤ 0.66m    （1分）
⑶ 为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则物块在轨道上上升的最大高度须小于或等于轨道的半径，设轨道半径的最小值为R′₀，则
mg(h + lsin37°) – μmgcos37°·l – mg R′₀ =" 0" – mv₀²/2   （2分）
解得                         R′₀= 1.65m                   （1分）
物块能够滑回倾斜轨道 AB，则 R₂ ≥ 1.65m                   （1分）
其它列式正确同样给分
本题考查平抛运动规律，圆周运动规律、动能定理的应用，根据平抛运动规律起初A点速度，在最高点只有重力提供向心力速度大小，根据动能定理求半径R0