Question

如图所示，轻质弹簧将质量为m的小物块连接在质量为M（M=3m）的光滑框架内．小物块位于框架中心位置时弹簧处于自由长度．现框架与小物块共同以速度V₀沿光滑水平面向左匀速滑动．
（1）若框架与墙壁发生瞬间碰撞后速度为0且与墙壁间不粘连，求框架刚要脱离墙壁时小物块速度的大小和方向；
（2）在（1）情形下，框架脱离墙壁后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值
（3）若框架与墙壁发生瞬间碰撞，立即反弹，在以后过程中弹簧的最大弹性势能为2/3mv_o²，求框架与墙壁碰撞时损失的机械能△E₁
（4）在（3）情形下试判定框架与墙壁能否发生第二次碰撞？若不能，说明理由．若能，试求出第二次碰撞时损失的机械能△E2．（设框架与墙壁每次碰撞前后速度大小之比不变）

Answer 1

分析：（1）框架与墙壁碰撞后，物块以v₀压缩弹簧，后又返回，由机械能守恒可知，碰后速度仍为v₀方向向右．
（2）设弹簧有最大势能时共同速度为v，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；
（3）设框架反弹速度为v₁、最大势能时共同速度为v，则由动量、能量守恒定律即可求解v₁、和v，从而求解损失量；
（4）由（3）知第一次碰后反弹后，二者总动量为零，故当弹簧再次伸展后仍可继续与墙壁相撞，并以v₁的速度与墙壁相撞，根据速度的比值关系求得碰后速度即可求解机械能损失量．

解答：解：（1）框架与墙壁碰撞后，物块以V₀压缩弹簧，后又返回，当返回原位时框架开始离开，由机械能守恒知，此时物块速度是v₀方向向右．
（2）设弹簧有最大势能时共同速度为v 由动量守恒定律知   mv₀=4mv
由能量守恒定律    

1

2

mv02=

1

2

×4mv2+E_P×
E_P=

3

8

mv02                                            
（3）设框架反弹速度为v₁、最大势能时共同速度为v，则
由动量、能量守恒定律得
3mv₁-mv₀=4mv

1

2

×3mv12+

1

2

mv02=

1

2

×4mv2+

2

3

mv02          
解得：9v12+18v₁v₀-7v02=0           v₁=

v0

3

     v′1=-

7

3

v₀（舍去）
带入得：v=0                         
△E₁=

1

2

×3mv02-

1

2

×3mv12=

4

3

mv02     
（4）由（3）知第一次碰后反弹后，二者总动量为零，故当弹簧再次伸展后仍可继续与墙壁相撞，并以V₁=

v0

3

的速度与墙壁相撞，由题意知，

v2

v1

=

v1

v0

  所以 v2=

v0

9

故△E₂=

1

2

×3m(

v0

3

)2-

1

2

×3m(

v0

9

)2=

4

27

mv02
答：（1）若框架与墙壁发生瞬间碰撞后速度为0且与墙壁间不粘连，框架刚要脱离墙壁时小物块速度的大小为v₀，方向向右；
（2）在（1）情形下，框架脱离墙壁后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值为

3

8

mv₀²；
（3）框架与墙壁碰撞时损失的机械能为

4

3

mv₀²；
（4）能，第二次碰撞时损失的机械能为

4

27

mv₀²．

点评：本题主要考查了动量守恒定律和能量守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动过程，难度适中．