题目内容
如图甲所示，三个物体A、B、C静止放在光滑水平面上，物体A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，三个物体的质量分别为mA=0.1kg、mB=0.2kg和mC=0.1kg．现将细线烧断，物体A、B在弹簧弹力作用下做往复运动（运动过程中物体A不会碰到物体C）．若此过程中弹簧始终在弹性限度内，并设以向右为正方向，从细线烧断后开始计
时，物体A的速度?时间图象如图乙所示．求：
（1）从细线烧断到弹簧恢复原长运动的时间；
（2）弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能；
（3）若弹簧与物体A、B不连接，在某一时刻使物体C以v0的初速度向右运动，它将在弹簧与物体分离后和物体A发生碰撞，所有碰撞都为完全弹性碰撞，试求在以后的运动过程中，物体C与物体A能够发生二次碰撞，物体C初速度v0的取值范围．（弹簧与物体分离后，迅速取走，不影响物体后面的运动）
时，物体A的速度?时间图象如图乙所示．求：（1）从细线烧断到弹簧恢复原长运动的时间；
（2）弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能；
（3）若弹簧与物体A、B不连接，在某一时刻使物体C以v0的初速度向右运动，它将在弹簧与物体分离后和物体A发生碰撞，所有碰撞都为完全弹性碰撞，试求在以后的运动过程中，物体C与物体A能够发生二次碰撞，物体C初速度v0的取值范围．（弹簧与物体分离后，迅速取走，不影响物体后面的运动）
分析：（1）弹簧恢复原长时，弹簧的弹性势能完全转化为物体的动能，物体速度最大，由图乙所示图象可以求出从烧断细线到弹簧恢复原长需要的时间．
（2）当弹簧长度最大时，物体速度为零，系统机械能完全转化为弹簧的弹性势能，由图乙所示图象求出弹簧恢复原长时，物体A的速度，由动量守恒定律求出此时B的速度，然后由能量守恒定律求出弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能．
（3）A、B不连接，A、B与弹簧分离后分别做匀速直线运动，C与A能与发生第2次碰撞，则第一次碰撞后，C的速度应大于A的速度，由动量守恒定律与能量守恒定律求出C的速度范围．
（2）当弹簧长度最大时，物体速度为零，系统机械能完全转化为弹簧的弹性势能，由图乙所示图象求出弹簧恢复原长时，物体A的速度，由动量守恒定律求出此时B的速度，然后由能量守恒定律求出弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能．
（3）A、B不连接，A、B与弹簧分离后分别做匀速直线运动，C与A能与发生第2次碰撞，则第一次碰撞后，C的速度应大于A的速度，由动量守恒定律与能量守恒定律求出C的速度范围．
解答：解：（1）由图乙所示图象可知，在
、
+
、T+
…时刻，
即t=
T+
T，（k=0、1、2、3…）时，弹簧恢复原长．
（2）由图乙所示图象可知，弹簧恢复原长时，
vA=-4m/s，A、B组成的系统动量守恒，
从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，
由动量守恒定律得：mAvA+mBvB=0，
即：0.1×（-4）+0.2×vB=0，解得：vB=2m/s，
当弹簧长度最大时，系统机械能完全转化为弹簧的弹性势能，
由能量守恒定律得：弹簧的最大弹性势能：
E=
mAvA2+
mBvB2=
×0.1×（-4）2+
×0.2×22=1.2J；
（3）由图象可知，物体A、B不连接，A、B与弹簧分离后，
A的速度vA=-4m/s，方向向左，C与A发生完全弹性碰碰撞，
由动量守恒定律得：mAvA+mCv0=mAvA′+mCv，
即：0.1×（-4）+0.1×v0=0.1×vA′+0.1×v…①
由能量守恒定律得：
mAvA2+
mCv02=
mAvA′2+
mCv2，
即：
×0.1×（-4）2+
×0.1×v02=
×0.1×vA′2+
×0.1×v2 …②
C与A要发生第二次碰撞，需要满足：v＞vA′…③
由①②③解得：v0＞20m/s．
答：（1）从细线烧断到弹簧恢复原长运动需要的时间为：t=
T+
T（k=0、1、2、3…）；
（2）弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能为1.2J；
（3）物体C与物体A能够发生二次碰撞，物体C初速度需要满足的条件为：v0＞20m/s．
| T |
| 4 |
| T |
| 2 |
| T |
| 4 |
| T |
| 4 |
即t=
| 1 |
| 4 |
| k |
| 2 |
（2）由图乙所示图象可知，弹簧恢复原长时，
vA=-4m/s，A、B组成的系统动量守恒，
从烧断细线到弹簧恢复原长的过程中，
由动量守恒定律得：mAvA+mBvB=0，
即：0.1×（-4）+0.2×vB=0，解得：vB=2m/s，
当弹簧长度最大时，系统机械能完全转化为弹簧的弹性势能，
由能量守恒定律得：弹簧的最大弹性势能：
E=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）由图象可知，物体A、B不连接，A、B与弹簧分离后，
A的速度vA=-4m/s，方向向左，C与A发生完全弹性碰碰撞，
由动量守恒定律得：mAvA+mCv0=mAvA′+mCv，
即：0.1×（-4）+0.1×v0=0.1×vA′+0.1×v…①
由能量守恒定律得：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
C与A要发生第二次碰撞，需要满足：v＞vA′…③
由①②③解得：v0＞20m/s．
答：（1）从细线烧断到弹簧恢复原长运动需要的时间为：t=
| 1 |
| 4 |
| k |
| 2 |
（2）弹簧长度最大时弹簧存储的弹性势能为1.2J；
（3）物体C与物体A能够发生二次碰撞，物体C初速度需要满足的条件为：v0＞20m/s．
点评：本题考查了求时间、弹簧的弹性势能、物体发生二次碰撞的条件，分析清楚物体运动过程、应用动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．
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