Question

如图甲所示，三个物体A、B、C静止放在光滑水平面上，物体A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，此时弹簧长度L=0.1m；三个物体的质量分别为m_A=0.1kg、m_B=0.2kg和m_C=0.1kg．现将细线烧断，物体A、B在弹簧弹力作用下做往复运动（运动过程中物体A不会碰到物体C）．若此过程中弹簧始终在弹性限度内，并设以向右为正方向，从细线烧断后开始计时，物体A的速度?时间图象如图乙所示．求：
（1）物体B运动速度的最大值；
（2）从细线烧断到弹簧第一次伸长到L₁=0.4m时，物体B运动的位移大小；
（3）若在某时刻使物体C以v_C=4m/s的速度向右运动，它将与正在做往复运动的物体A发生碰撞，并立即结合在一起，试求在以后的运动过程中，弹簧可能具有的最大弹性势能的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于物体A、B与轻质弹簧组成的系统，烧断细线后系统的动量守恒，当A的速度最大时，B的速度也最大，由图读出A的最大速度，即可求得B运动速度的最大值；
（2）根据A、B系统的动量守恒列式，结合在极短的时间△t内位移等于速度与时间△t的乘积，得到A、B位移x_A、x_B关系，依题意：x_A+x_B=L₁-L，联立即可求得物体B运动的位移大小；
（3）A、B、C组成的系统动量守恒，可知三物体速度相同时的速度是一个定值，总动能也是一个定值，此时弹性势能最大．当A与C同向相撞和反向相撞时，根据系统的动量守恒和能量守恒列式求解．

解答：解：（1）对于物体A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒，设物体B运动的最大速度为v_B，有：
m_Av_A+m_Bv_B=0
v_B=-

mAvA

mB

=-

1

2

v_A，
由图乙可知，当t=

T

4

时，物体A的速度v_A达到最大，v_A=-4m/s
则 v_B=2m/s
即物体B运动的最大速度为2m/s，
（2）设A、B的位移大小分别为x_A、x_B，瞬时速度的大小分别为v′_A、v′_B
由于系统动量守恒，则在任何时刻有：m_Av′_A-m_Bv′_B=0
则在极短的时间△t内有：m_Av′_A△t-m_Bv′_B△t=0
  m_Av′_A△t=m_Bv′_B△t
累加求和得：m_A∑v′_A△t=m_B∑v′_B△t
  m_Ax_A=m_Bx_B
  x_B=

mA

mB

，x_A=

1

2

x_A
依题意：x_A+x_B=L₁-L
解得：x_B=0.1m                                                 
（3）因水平方向系统不受外力，故系统动量守恒，因此，不论A、C两物体何时何处相碰，三物体速度相同时的速度是一个定值，总动能也是一个定值，且三个物体速度相同时具有最大弹性势能．
设三个物体速度相同时的速度为v_共，
依据动量守恒定律有：m_Cv_C=（m_A+m_B+m_C）v_共，
解得：v_共=1m/s
当A在运动过程中速度为4m/s，且与C同向时，跟C相碰，A、C相碰后速度v₁=v_A=v_C，设此过程中具有的最大弹性势能为E₁，
由能量守恒得：E₁=

1

2

（m_A+m_C）v₁²+

1

2

m_B

v

2 B

-

1

2

（m_A+m_B+m_C）

v

2 共

=1.8J
当A在运动过程中速度为-4m/s时，跟C相碰，设A、C相碰后速度为v₂，由动量守恒：
m_Cv_C-m_Av_A=（m_A+m_C）v₂，
解得：v₂=0
设此过程中具有的最大弹性势能设为E₂
由能量守恒：E₂=

1

2

（m_A+m_C）v₂²+

1

2

m_Bv_B²-

1

2

（m_A+m_B+m_C）v_共²=0.2J
由上可得：弹簧具有的最大弹性势能E_pm的可能值的范围：0.2J≤E_pm＜1.8J．
答：（1）物体B运动速度的最大值为2m/s；
（2）从细线烧断到弹簧第一次伸长到L₁=0.4m时，物体B运动的位移大小为0.1m；
（3）在以后的运动过程中，弹簧可能具有的最大弹性势能的取值范围为0.2J≤E_pm＜1.8J．

点评：本题关键要分析清楚物体运动过程，把握隐含的临界条件，正确应用动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．