Question

在某一真空空间内建立xOy坐标系，从原点O处向第I象限发射一荷质比

q

m

=104C/kg的带正电的粒子（重力不计）．速度大小v₀=10³ m/s、方向与x轴正方向成30°角．

（1）若在坐标系y轴右侧加有匀强磁场区域，在第I、Ⅳ象限，磁场方向垂直xOy平面向外B=1T，求粒子做匀速圆周运动的轨道半径R？
（2）若在坐标系y轴右侧加有匀强磁场区域，在第I象限，磁场方向垂直xOy平面向外；在第Ⅳ象限，磁场方向垂直xOy平面向里；磁感应强度为B=1T，如图（a）所示，求粒子从O点射出后，第2次经过x轴时的坐标x₁．
（3）若将上述磁场均改为如图（b）所示的匀强磁场，在t=0到t=

2π

3

×10-4s时，磁场方向垂直于xOy平面向外；在t=

2π

3

×10-4s到t=

4π

3

×10-4s时，磁场方向垂直于xOy平面向里，此后该空间不存在磁场，在t=0时刻，粒子仍从O点以与原来相同的速度v₀射入，求粒子从O点射出后第2次经过x轴时的坐标x₂．

Answer 1

分析：洛伦兹力提供向心力，可以求出粒子运动的半径；根据题目提供的条件，正确画出粒子运动的轨迹，进而确定各点之间的关系．

解答：解：（1）设粒子的轨道半径r，洛伦兹力提供向心力，有qvB=m

v2

r

，r=0.1m
（2）粒子在x轴上方和下方的磁场中做半径相同的匀速圆周运动，其运动轨迹如图 （a）所示．由几何关系知粒子第二次经过x轴的坐标为x₁=2r=0.2 m．
（3）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T．
则T=

2πm

Bq

=2π×10-4s．
据题意，知粒子在t=0到t=

2π

3

×10-4s内和在t=

2π

3

×10-4s到t=

4π

3

×10-4s时间内在磁场中转过的圆弧所对的圆心角均为

2π

3

，粒子的运动轨迹应如图 （b）所示．
△ODX₂ 是低边夹角是30°的等边三角形，
由几何关系得x₂=2（2rsin30°+2r）=6r=0.6 m．
答：（1）粒子做匀速圆周运动的轨道半径是0.1m；
（2）第2次经过x轴时的坐标0.2m．
（3）粒子从O点射出后第2次经过x轴时的坐标x₂=0.6 m．

点评：该题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，洛伦兹力提供向心力是基础，正确画出粒子运动的轨迹是解决问题的关键．