Question

4．如图所示，水平地面上固定一个半径为R=0.8m的四分之一光滑圆轨道，圆轨道末端水平并与一个足够长的匀质木板的左端等高接触但不连接．木板的质量为M=2kg，其左端有一个处于静止状态的小物块a，质量为m_a=1kg．现将一质量为m_b=3kg的小物块b由圆轨道最高点无初速度释放，并与物块a在圆轨道最低点发生碰撞，碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失（物块a、b可视为质点，重力加速度g取10m/s²）
（1）求碰后瞬间两物块的速度大小；
（2）若两个小物块a、b与木板间的动摩擦因数均为μ₁=0.3，木板与地面间的动摩擦因数为μ₂=0.1，求最终两个小物块a、b间的距离．

Answer 1

分析 （1）物块b下滑的过程，满足机械能守恒定律，由此列式求b滑到圆轨道底端时的速度．对于两个物块碰撞的过程，由动量守恒定律和动能守恒列式，可求得碰后瞬间两物块的速度大小．
（2）碰后，a、b在木板上做匀减速运动，木板做匀加速运动，由牛顿第二定律求出三者的加速度．设物块b与木板共速时的速度为v₁，时间为t₁，根据速度公式求出v₁和t₁．此后物块b与板相对静止一起减速到速度为零，再对b与木板整体，求得加速度，由运动学公式求出整体滑行的时间．最后由位移公式求解．

解答 解：（1）对物块b沿光滑圆轨道下滑的过程，由机械能守恒得：
${m}_{b}gR=\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得：v₀=4m/s，
两物块相碰撞得过程中，由于碰撞时间极短，内力远大于外力，满足动量守恒，以初速度为正方向，根据动量守恒定律得：
m_bv₀=m_bv_b+m_av_a，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{b}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{a}{{v}_{a}}^{2}$
联立并代入数据解得：v_b=2m/s，v_a=6m/s
（2）物块a、b做匀减速运动的加速度大小分别为：
${a}_{a}=\frac{{μ}_{1}{m}_{a}g}{{m}_{a}}=3m/{s}^{2}$，
a_b=$\frac{{μ}_{1}{m}_{b}g}{{m}_{b}}$=μg=3m/s²．
木板做匀加速运动的加速度大小为：
${a}_{M}=\frac{{μ}_{1}{m}_{a}g+{μ}_{1}{m}_{b}g-{μ}_{2}（{m}_{a}+{m}_{b}+M）}{M}=3m/{s}^{2}$
物块b与木板共速时的速度为v₁，时间为t₁，则有：
v₁=v_b-a_bt₁=a_Mt₁，
解得：v₁=1m/s，${t}_{1}=\frac{1}{3}s$
此后物块b与板相对静止一起减速到速度为零的时间为t₂，加速度大小为：
${a}_{共}=\frac{{μ}_{2}（{m}_{a}+{m}_{b}+M）{-μ}_{1}{m}_{a}g}{M+{m}_{b}}=\frac{3}{5}m/{s}^{2}$，
则0=v₁-a_共t₂
解得：${t}_{2}=\frac{5}{3}s$，
综上，物块a整个过程中的对地位移为x_a，物块b整个过程中的对地位移为x_b，则有：
${x}_{b}=\frac{{v}_{b}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}+\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{2}=\frac{4}{3}m$，
${x}_{a}=\frac{{{v}_{a}}^{2}}{2{a}_{a}}=6m$，
所以最终两物块间距 $△x=\frac{14}{3}m$．
答：（1）碰后瞬间a、b两物块的速度大小分别是6m/s和2m/s；
（2）最终两个小物块a、b间的距离是$\frac{14}{3}$m．

点评 本题的关键要分析清楚物体的运动情况，把握每个过程的物理规律，采用隔离法和整体法结合分析三个物体运动的加速度和位移．