Question

5．如图所示，有理想边界且范围足够大的两个水平匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度均为B，两水平边界间距为2L．有一质量为m、边长为L的正方形线框abcd由粗细均匀的导线制成，总电阻为R．线框从磁场Ⅰ中某处由静止释放，运动过程中，线框平面始终与磁场方向垂直的竖直平面内，且ab边平行于磁场边界．当ab边刚离开磁场Ⅰ时，线框恰好做匀速运动；当cd边进入磁场Ⅱ前，线框又做匀速运动．求：
（1）线框做匀速运动时，产生的感应电流的大小；
（2）线框从开始运动到完全进入磁场Ⅱ的过程中的最大速度；
（3）线框通过两磁场边界过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）线框做匀速运动时，安培力与重力平衡，由平衡条件求感应电流．
（2）当ab边刚离开磁场Ⅰ时，线框恰好做匀速运动，离开磁场后做匀加速直线运动，线圈进入磁场Ⅱ应先做减速运动，最后做匀速运动，所以线圈刚进入磁场Ⅱ时速度最大，由机械能守恒求最大速度．
（3）根据能量守恒求焦耳热．

解答 解：（1）线框做匀速运动时，安培力与重力平衡，则有
  mg=BIL，I=$\frac{mg}{BL}$
（2）设线框做匀速运动时的速度为v，最大速度为v_m．
由I=$\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$得 v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
由题分析知，线圈刚进入磁场Ⅱ时速度最大，线圈从离开磁场Ⅰ到刚进入磁场Ⅱ的过程，由机械能守恒得
  mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得 v_m=$\sqrt{\frac{{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}+2gL}$
（3）线框通过两磁场边界过程中产生的焦耳热为
   Q=mgL+（mgL+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$）=3mgL
答：
（1）线框做匀速运动时，产生的感应电流的大小是$\frac{mg}{BL}$；
（2）线框从开始运动到完全进入磁场Ⅱ的过程中的最大速度是$\sqrt{\frac{{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}+2gL}$；
（3）线框通过两磁场边界过程中产生的焦耳热是3mgL．

点评 分析清楚线框的运动过程，正确分析能量如何转化是两个关键，再应用E=BLv、欧姆定律等规律即可正确解题．