Question

如图所示，两根轻弹簧的原长都是d，劲度系数都为k．由于质量为m的小球受重力作用，使系统处于实线所画的平衡位置，此时弹簧从水平位置下垂的倾角为φ．试证：此系统在竖直方向所作的小幅度振动为简谐振动，并求其固有的角频率．
[可能用到的知识：若|θ|很小，则sin（θ₀+θ）≈sinθ₀，其中θ₀是已知一定角]．

Answer 1

分析：选择小球为研究的对象，设小球在平衡位置处下垂的竖直距离为x₀，对小球进行受力分析，并结合胡克定律，导出小球的受力与小球在平衡位置处下垂的竖直距离为x₀之间的关系公式，若满足：∑F=-2kx，即表示小球做简谐振动．

解答：解：设小球在平衡位置处下垂的竖直距离为x₀，则此时每根弹簧的总长度为

x0

sinφ

，若以平衡位置处为原点O，向下方向为x轴正方向，
如图所示，列出平衡方程（设平衡时每根弹簧弹力大小为F₀），
mg-2F₀sinφ=0
F0=k(

x0

sinφ

-d)，
从而得mg-2k(

x0

sinφ

-d)sinφ=0，
若小球从平衡位置在竖直方向（向下）微小位移x，弹簧与水平方向夹角φ
有微小改变量△φ，易知合力在竖直方向，∑F=mg-2k(

x+x0

sin(φ+△φ)

-d)sin(φ+△φ)，
利用提示及所得结果化简得：∑F=-2kx，（负号表明合力方向与位移x的方向相反），所以此系统在竖直方向所作的小幅度振动为简谐振动，其固有的角频率为ω=

2k m

．
答：其固有的角频率是

2k m

．

点评：该题属于高中物理竞赛类的题目，证明的关键是能够得出小球的受力满足方程：∑F=-2kx．证明的过程基本上是受力分析的过程，中间使用的数学公式略有难度．