Question

2．2015年4月1日，中国首次公开登月飞船方案．两种飞船中，全重20吨的飞船可支持登月任务．
（1）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的轨道半径r，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，求月球绕地球运动的周期为T．
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，站在月球表面从高h处以速度v₀水平抛出一小球，经过时间t，小球落地．已知月球半径为r_月，引力常量为G，求月球的密度ρ_月．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合万有引力等于重力，列式求出月球绕地球运动的周期为T．
（2）小球做平抛运动，分位移公式可求得月球表面的重力加速度g，忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解月球质量，从而算出月球的密度；

解答 解：（1）设地球的质量为M，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：
G$\frac{M{M}_{月}}{{r}^{2}}$=M_月（$\frac{2π}{T}$）²r　
质量为m的物体在地球表面时：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$
（2）设月球表面处的重力加速度为g_月，对平抛运动，根据分位移公式，有：
h=$\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$
解得：
${g}_{月}=\frac{2h}{{t}^{2}}$
在月球表面上，小球所受重力等于月球对小球的吸引力，故：
mg_月=G$\frac{{M}_{月}m}{{r}_{月}^{2}}$
月球的密度：
${ρ}_{月}=\frac{{M}_{月}}{\frac{4}{3}π{r}_{月}^{2}}$
联立解得：
${ρ}_{月}=\frac{3h}{2π{r}_{月}G{t}^{2}}$
答：（1）月球绕地球运动的周期为2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）月球的密度为$\frac{3h}{2π{r}_{月}G{t}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力．并能灵活运用；重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．