Question

10．小明同学设计了一套电磁阻尼测速仪，如图所示，MN，M′N′为两根水平固定放置的平行长直光滑的金属导轨，导轨间距为L，用电阻R₁将导轨左端MM′相连，导轨间加有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，金属棒CD放置导轨上，棒的右侧固定一绝缘物块，棒CD的电阻为R₂，棒与物块的总质量为M．玩具手枪对准物块的正中间射出一质量为m，速度为v₀的子弹，子弹击中物块后，棒与物块一起向左移动x距离停止运动，假设棒与导轨接触良好且不转动，子弹击中物块的时间很短且停留在物块内部，求：
（1）子弹击中物块瞬间棒的速度v，并判断棒中电流的方向；
（2）从棒开始运动带停止过程中，棒产生的焦耳热Q；
（3）棒滑行距离x与子弹的初速v₀的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒定律求子弹击中物块瞬间棒的速度v，由楞次定律判断棒中电流的方向．
（2）运用能量守恒定律求出回路中产生的总的焦耳热，再按比例求棒产生的焦耳热Q；
（3）对棒滑行的过程，由牛顿第二定律和加速度的定义式列式，运用积分法求距离x与子弹的初速v₀的函数关系式．

解答 解：（1）对于子弹击中物块的过程，以子弹、棒和物块组成的系统，取向左为正方向，根据动量守恒定律得：
    mv₀=（M+m）v
得 v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
棒向左切割磁感线，由楞次定律知棒CD中产生的感应电流方向为：C→D．
（2）从棒开始运动带停止过程中，对整个回路，由能量守恒定律得：
  Q_总=$\frac{1}{2}$（M+m）v²=$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2（M+m）}$
棒产生的焦耳热 Q=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Q_总=$\frac{{R}_{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2（{R}_{1}+{R}_{2}）（M+m）}$；
（3）对棒及物块向左滑行的过程，根据牛顿第二定律得：
    F_安=（M+m）a
又 F_安=BIL=B$\frac{BLv}{{R}_{1}+{R}_{2}}$Lv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$v
      a=$\frac{△v}{△t}$
联立得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$v=（M+m）$\frac{△v}{△t}$
即有  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$v△t=（M+m）△v
可得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$△x=（M+m）△v
两边求和得：$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$△x=$\sum_{\;}^{\;}$（M+m）△v
解得 $\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$x=（M+m）v
结合 v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
得 x=$\frac{m{v}_{0}（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：
（1）子弹击中物块瞬间棒的速度v为 $\frac{m{v}_{0}}{M+m}$，棒中电流的方向为：C→D；
（2）从棒开始运动带停止过程中，棒产生的焦耳热Q为$\frac{{R}_{2}{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{2（{R}_{1}+{R}_{2}）（M+m）}$；
（3）棒滑行距离x与子弹的初速v₀的函数关系式为x=$\frac{m{v}_{0}（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题是含有非弹性碰撞的过程，是电磁感应与力学知识的综合，关键要学会运用积分法求非匀变速运动的位移，其切入点是牛顿第二定律和加速度的定义式．