Question

【题目】如图所示，一木块位于光滑的水平桌面上，木块上固连一支架，木块与支架的总质量为M．一摆球挂于支架上，摆球的质量为m，摆线的质量不计．初始时，整个装置处于静止状态．一质量为m的子弹以大小为v0、方向垂直于图面向里的速度射人摆球并立即停留在球内，摆球和子弹便一起开始运动．已知摆线最大的偏转角小于90°，在小球往返运动过程中摆线始终是拉直的，木块未发生转动．

i．求摆球上升的最大高度．

ii．求木块的最大速率．

iii．求摆球在最低处时速度的大小和方向．

Answer 1

【答案】i．ii．iii．，方向向前，

【解析】

i．由于子弹射人摆球至停留在球内经历的时间极短，可以认为在这过程中摆球仅获得速度但无位移．设摆球（包括停留在球内的子弹）向前（指垂直于图面向里）的速度为u，由动量守恒定律有

mv0=2mu(l)

摆球以速度u开始向前摆动，木块亦发生运动．当摆球上升至最高时，摆球相对木块静止，设此时木块的速度为V，摆球上升的高度为h，因水平方向动量守恒以及机械能守恒有

2mu=(2m+M)V(2)

(3)

解（l）、（2）、（3）三式得

(4)

ii．摆球升到最高后相对木块要反向摆动．因为在摆球从开始运动到摆线返回到竖直位置前的整个过程中，摆线作用于支架的拉力始终向斜前方，它使木块向前运动的速度不断增大；摆线经过竖直位置后，直到摆线再次回到竖直位置前，摆线作用于支架的拉力将向斜后方，它使木块速度减小，所以在摆线（第一次）返回到竖直位置的那一时刻，木块的速度最大，方向向前

以V’表示摆线位于竖直位置时木块的速率，u’表示此时摆球的速度（相对桌面），当u'>0，表示其方向水平向前，反之，则水平向后．因水平方向动量守恒以及机械能守恒，故有

(5)

(6)

解（1）、（5）、（6）三式可得摆线位于竖直位置时木块速度的大小

(7)

(8)

(7）式对应于子弹刚射人摆球但木块尚未运动时木块的速度，它也是摆球在以后相对木块往复运动过程中摆线每次由后向前经过竖直位置时木块的速度；而题中要求的木块的最大速率为（8）式，它也是摆球在以后相对木块的往复运动过程中摆线每次由前向后经过竖直位置时木块的速度．

iii．在整个运动过程中，每当摆线处于竖直位置时，小球便位于最低处．当子弹刚射人摆球时，摆球位于最低处，设这时摆球的速度为u，由（l）式得

(9)

方向水平向前．当摆球第一次回到最低处时，木块速度最大，设这时摆球的速度为u'，由(l）、（5）、（6）三式和（8）式可得

(10)

其方向向后．

当摆球第二次回到最低处时，由（7）式木块速度减至0，设这时摆球的速度为u'，

由（l）、（5）、（6）式可得

u'＝(11)

方向向前，开始重复初始的运动．