Question

【题目】如图甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径都为r=0.3m的四分之一圆弧轨道，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径）轨道，分别与上下圆弧轨道相切连接，BC的长度L=0.2m．下圆弧轨道与水平轨道相切，其中D、A分别是上下圆弧轨道的最高点和最低点，整个轨道固定在竖直平面内．现有一质量M=0.3kg的小球以一定的速度沿水平轨道向右运动并从A点进入圆弧，不计小球运动中的一切阻力，g=10m/s2求：

（1）当小球由D点以10m/s的速度水平飞出时，小球落地点与D点的水平距离、由D到落地点过程中动量的变化量的大小；
（2）当小球由D点以3m/s的速度水平飞出时，小球过圆弧A点时对轨道的压力大小；
（3）若在D点右侧连接一半径为R=0.4m的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使小球不脱离轨道运动，小球在水平轨道向右运动的速度大小范围（计算结果可用根式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：小球从D点以10m/s的速度水平飞出后做平抛运动，由平抛运动规律可得：

2r+L= ，

代入数据解得 t=0.4s

所以落地点与D点的水平距离 x=vDt=10×0.4m=4m；

根据动量定理可得△P=Mgt=1.2Ns；

答：当小球由D点以10m/s的速度水平飞出时，小球落地点与D点的水平距离为4m、由D到落地点过程中动量的变化量的大小为1.2Ns；

（2）由A到D的过程，由机械能守恒定律可得：Mgh+ MvD2= MvA2

在A点，由牛顿第二定律可得：FN﹣Mg=M ；

联立解得 FN=28N

由牛顿第三定律知，小球过圆弧A点时对轨道的压力 FN′=FN=28N

答：当小球由D点以3m/s的速度水平飞出时，小球过圆弧A点时对轨道的压力大小为28N；

（3）讨论一：

小球进入轨道最高运动到C点，之后原路返回，由机械能守恒定律，有：

Mg（R+L）= Mv12

得 v1= ；

讨论二：小球进入轨道后恰好能通过圆弧最高点D，之后沿DEF运动而不脱离轨道，在D点，有

Mg=M ，其中R=0.4m

从A到D由机械能守恒定律可得：

有：Mgh+ Mv2= Mv22

得 v2=2 m/s

所以要使小球在运动过程中能不脱离轨道，初速度大小的范围为：v1≤ m/s或v2≥2 m/s

答：小球在水平轨道向右运动的速度大小范围为v1≤ m/s或v2≥2 m/s．

【解析】（1）小 球水平飞出后做平抛运动。根据题目中的已知，结合平抛运动的规律进行求解。最后根据动量定理求出过程中，动量的变化量。
（2）小球在上升到最高点的过程中。满足机械能守恒且在最高点合外力等于向心力，联立方程组求解即可。
（3）要使小球不脱离轨道小球应继续做圆周运动。可能由C点返回A点，也可能超过D点后沿DEF轨道回到A点，根据机械能守恒定律列式求解即可。