Question

如图所示，直角坐标系的y轴左方为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B；垂直x轴竖直放置一个足够大接收屏PQ，它离原点距离为og=L/2；直角坐标系的第一象限和第四象限的abco、ocdf均是边长为L的正方形，内各有一垂直纸面方向的半径为L的1/4圆形匀强磁场区域；磁感应强度的大小均为B．bd为一线状发射装置，射出一束质量为m、电荷量为e的电子，以相同的初速度沿纸面垂直于bd边射入两个正方形区域，电子从bd边上的任意点入射，都只能从原点O射出进入y轴左方磁场．（不考虑电子之间的相互作用，不计重力）求：
（1）第一象限和第四象限中匀强磁场区域的磁感应强度的方向．
（2）电子沿纸面垂直于bd边射入初速度大小v₀．
（3）电子打到接收屏PQ上的范围．
（4）打在接收屏上的电子在磁场中运动的最长时间t．

Answer 1

分析：（1）由电子的偏转方向结合左手定则得，第一象限内磁感应强度的方向垂直于纸面向外，第四象限内磁感应强度的方向垂直于纸面向里
（2）由题意，电子在第一、四象限内都能通过原点O，则知电子的偏转方向，根据左手定则判断出磁场的方向．电子从b点射入的电子从O点射出时，画出轨迹，由几何知识得到轨迹半径，根据洛伦兹力提供向心力，即可由牛顿第二定律求出初速度v₀的大小．
（3）从O点沿-y方向进入磁场的电子打在屏上最低点，画出轨迹，由几何知识求出打在屏上最低点到到g的距离．当从O点沿某方向进入第二象限的电子其圆轨迹在恰与圆相切，该电子打在屏上最高位置，再画出轨迹，即可由几何关系求出打在屏上最高点到到g的距离，可得到电子打到接收屏PQ上的范围．
（4）根据轨迹对应的圆心角越大，在磁场中运动时间越长可知，在所有达到屏上的电子中，从b点射入的电子在磁场中运动时间最长，分别求出该电子在第一象限和第四象限的运动题意，即可求得最长的时间．

解答：解：（1）电子从bd边上的任意点入射，都只能从原点O射出进入y轴左方磁场，考虑电子带负电，结合左手定则得，第一象限内磁感应强度的方向垂直于纸面向外，第四象限内磁感应强度的方向垂直于纸面向里
（2）考虑从b点射入的电子，由轨迹图可知，圆周运动半径为
r=L
由牛顿第二定律列方程得：ev0B=

mv 2 0

r

解得：v0=

eBL

m

（3）所有电子从原点O射出进入y轴左方磁场后，均做匀速圆周运动，半径不变，其中从O点沿-y方向射入的电子打在屏上最低点h处，圆心为O₁，
设O₁g距离为x₁，由图可知：
x1=r-

L

2

=

L

2

设gh=-y₁，由图可知：
y1=

r2-x2

=

3 L

2

且∠gO₁h=60°，从C点下某处沿-y方向进入的电子，垂直于y轴进入左侧匀强电场中，其轨迹在i点恰与PQ相切，改i点为屏最高位置，如图所示，圆心为o₂，o₂i交y轴于j点，设o₂j=x₂，gi=oj=y₂，由图可知，
x2=r-

L

2

=

L

2

y2=

r2 -x 2 2

=

3

2

L
（4）在所有达到屏上的电子中，只有从b点射入的电子在磁场中运动时间最长，它在

1

4

圆形区域的运动时间：
t1=

T

4

=

1

4

×

2πm

eB

=

πm

2eB

它在y轴左侧区域运动时间为：t₂=

T

6

=

1

6

×

2πm

eB

=

πm

3eB

在磁场中运动的最长时为：
t=t1+t2=

5πm

6eB

答：（1）第一象限内磁感应强度的方向垂直于纸面向外，第四象限内磁感应强度的方向垂直于纸面向里
（2）初速度大小为

eBL

m

（3）电子打到接收屏PQ上的范围为-

3

2

L≤y≤

3

2

L
（4）打在接收屏上的电子在磁场中运动的最长时间为

5πm

6eB

点评：对于带电粒子在磁场中运动问题，确定圆心、定出半径，画出轨迹是基本方法，根据几何知识求得圆心角，可求得时间．