Question

11．如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=45°，一条长为L的轻绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看作质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动．
（1）当时v=$\sqrt{\frac{gL}{6}}$，求绳对物体的拉力．
（2）当时v=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$，求绳对物体的拉力．

Answer 1

分析 先求出物体刚要离开锥面时的临界速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：当物体刚要离开锥面时，锥面对小球没有支持力，由牛顿第二定律得：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Lsinθ}$
解得 v=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$．
（1）因v₁＜v，此时锥面对球有支持力，设为N₁，如图1所示，则
 T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
 T₁sinθ-N₁sinθ=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{Lsinθ}$
解得 T₁=$\frac{3\sqrt{2}+1}{6}$mg
（2）因v₂＞v，则球离开锥面，设线与竖直方向上的夹角为α，如图2所示．
则T₂cosα-mg=0
 T₂sinα=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{Lsinα}$
解得T₂=2mg．
答：
（1）当时v=$\sqrt{\frac{gL}{6}}$，绳对物体的拉力为$\frac{3\sqrt{2}+1}{6}$mg．
（2）当时v=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$，绳对物体的拉力为2mg．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，正确分析物体的受力情况，再运用牛顿第二定律求解．要注意小球圆周运动的半径不是L，而是Lsinθ．