Question

【题目】（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。己知引力常量为G,太阳的质量为。

(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×l08m,月球绕地球运动的周期为2.36×l06s,试计算地球的质量M地。（G=6.67×10-1lN·m2/kg2,结果保留2位有效数字）

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1) 行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时应改为，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；

(2) 根据（1）中得到的关系式，代入数据即可求得地球的质量。

(1) 因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有

则有：

即 ；

(2) 在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，

解得：。