Question

4．如图所示，两根电阻不计、相距L且足够长的平行光滑导轨与水平面成 θ 角，导轨处在磁感应强度B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上，导轨下端连接阻值为R的电阻．现让一质量为m，电阻也为R、与导轨接触良好的水平金属棒ab从静止开始下滑，ab下滑距离s后开始匀速运动，重力加速度为g．求：
（1）ab棒匀速下滑时速度v的大小；
（2）ab棒从静止至开始匀速下滑的过程中，ab棒上产生的热量．
（3）通过的电荷量．

Answer 1

分析 （1）当金属棒受到的合力为零时，金属棒匀速下滑，由安培力公式与平衡条件可以求出金属棒匀速运动时的速度．
（2）由能量守恒定律可以求出金属棒产生的热量．
（3）由法拉第电磁感应定律可求得通过的电荷量．

解答 解：（1）金属棒受到的安培力：
F=BIL=B$\frac{E}{R+R}$L=B$\frac{BLv}{2R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
金属棒匀速运动时，处于平衡状态，
由平衡条件得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=mgsinθ，
金属棒匀速运动的速度：v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）ab棒与电阻R串联，通过它们的电流I相等，
电阻阻值相同，它们产生的热量Q相等，
由能量守恒定律得：mgssinθ=$\frac{1}{2}$mv²+2Q，
ab棒上产生的热量：Q=$\frac{1}{2}$mgssinθ-$\frac{1}{4}$mv²=$\frac{mgssinθ}{2}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}（sinθ）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）由法拉第电磁感应定律可知：
q=It=$\frac{△Φ}{2△tR}△t$=$\frac{BLs}{2R}$
解：（1）ab棒匀速下滑时速度v的大小为$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；（2）ab棒从静止至开始匀速下滑的过程中，ab棒上产生的热量$\frac{mgssinθ}{2}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}（sinθ）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．（3）产生的电量为$\frac{BLs}{2R}$

点评 本题是导体在导轨上滑动类型，从力和能量两个角度研究，关键要掌握法拉第定律、欧姆定律、能量守恒等等基本规律，要注意求电量时要用平均电动势求解．