Question

1．如图所示，直线MN的下方有MN成60°斜向上的匀强电场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，圆心O在MN上，P、Q是圆与MN的两交点，半圆分界线内外的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从A点（A点在过O的电场线上）垂直电场线向左上方射出，到达P点时速度恰好水平，经磁场最终能打到Q点，不计微粒的重力．求：
（1）微粒在A点的速度大小与在P点的速度大小的比值
（2）AO间的距离
（3）微粒从P点到Q点可能的运动时间．

Answer 1

分析 （1）微粒在电场中做类平抛运动，作出微粒在A、P两点的速度，然后求出速度之比．
（2）微粒在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动的运动规律求出AO间的距离．
（3）微粒在磁场中做类平抛运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子的运动轨迹，应用牛顿第二定律与周期公式可以求出微粒的运动时间．

解答 解：（1）微粒在A、P两点的速度如图所示：

由图示可知：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{P}}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）微粒在垂直电场方向：v_At=Rsin60°
在平行电场方向：$\frac{{v}_{A}tan30°}{2}$t=L，
由几何知识可知：AO=Rcos60°-L，
代入数据解得：AO=$\frac{1}{4}$R；
（3）微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等份（n=2，3，4…）
由几何知识可得：θ=$\frac{π}{2n}$，
当n为偶数时，由对称性可得：
t=$\frac{n}{2}$T=$\frac{nπm}{qB}$（n=2，4，6…）
当n为奇数时，t为周期的倍数加上第一段的运动时间，
t=$\frac{n-1}{2}$T+$\frac{π+\frac{π}{n}}{2π}$T=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$（n=3，5，7…）
答：（1）微粒在A点的速度大小与在P点的速度大小的比值$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）AO间的距离为为$\frac{1}{4}$R；
（3）微粒从P点到Q点可能的运动时间为：$\frac{nπm}{qB}$（n=2，4，6…）  或$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nqB}$（n=3，5，7…）．

点评 本题考查了微粒在电场与磁场中的运动，应用牛顿第二定律即可正确解题，根据题意作出粒子运动轨迹，结合题意找出相应的临界条件是正确解题的前提．本题是一道难题，根据题意作出粒子的运动轨迹是本题解题的难点，也是正确解题的关键．