Question

如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN和PQ固定在同一水平面上，两导轨间距l = 0.2m，电阻R₁ = 0.4Ω，导轨上静止放置一质量m = 0.1kg、电阻R₂  = 0.1Ω的金属杆，导轨电阻忽略不计，整个装置处在磁感应强度B₁ = 0.5T的匀强磁场中，磁场的方向竖直向下，现用一外力F沿水平方向拉杆，使之由静止起做匀加速运动并开始计时，若5s末杆的速度为2.5m/s，求：

（1）5s末时电阻R上消耗的电功率；

（2）5s末时外力F的功率.

（3）若杆最终以8 m/s的速度作匀速运动, 此时闭合电键S，射线源Q释放的粒子经加速电场C加速后从a孔对着圆心O进入半径r = m的固定圆筒中（筒壁上的小孔a只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向下的磁感应强度为B₂的匀强磁场。粒子每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，也无机械能损失，粒子与圆筒壁碰撞5次后恰又从a孔背离圆心射出，忽略粒子进入加速电场的初速度，若粒子质量= 6.6×10^{－27 kg ,} 电量= 3.2×10^{－19 C,} 则磁感应强度B₂ 多大？若不计碰撞时间，粒子在圆筒内运动的总时间多大？

Answer 1

(1) 0.1 W (2) 0.25W (3)     1.57×10 ^-2 s

解析:

（1）5s末杆产生的电动势 E =B l v = 0.5 ×0.2 ×2.5 V = 0.25 V 

 A = 0.5 A 

                                          

   电阻上消耗的电功率 P_R = I ² R₁ = 0.1 W   （4分）

（2）金属棒的加速度 

由牛顿定律  F- F_安 = ma     

杆受的安培力  F_安 = B I l

外力F的功率  P =Fv

由以上各式得  P = ( B I l + ma ) v = 0.25W（6分）

（3）此时回路电流强度为 A = 1.6A

     

   加速电场的电压为 U = IR ₁= 1.6×0.4 V = 0.64 V

     

   根据动能定理：=

  粒子从C孔进入磁场的速度v ==m/s ≈8.0×10³ m/s （4分）

由题意知：粒子与圆筒壁碰撞5次后从a孔离开磁场, 由几何关系求得∠d O b = 60°

轨迹半径R＇ == 1.0 m

    又：

    故： = T =1.65×10^－5 T

 

  又：∠d O＇b = , 粒子作圆周运动转过的圆心角为

    根据  及 v =

 

  得 T = = s = 7.85×10^-3 s

粒子在圆筒内运动的总时间 t = 2T = 2×7.85×10^-3 s = 1.57×10 ^-2 s （7分）