Question

20．如图，从距水平地面高h处以初速度v₀水平抛出一质点，质点落地时速度方向与地面的夹角为α=45°，不计空气阻力，则：
（1）求质点落地时竖直分速度v_y；
（2）求地球表面重力加速度g；
（3）推导第一宇宙速度公式（已知地球半径为R）．

Answer 1

分析 （1）根据速度合成求得质点落地时的竖直分速度；
（2）根据平抛运动规律求出地球表面的重力加速度；
（3）第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，根据地球表面重力与万有引力相等求得第一宇宙速度公式．

解答 解：（1）落地时刻根据速度合成有：
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$     ①
因为α=45°      
所以有v_y=v₀    ②
（2）竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$     ③
v_y=gt       ④
联立②③④式解得重力加速度为：g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$     ⑤
（3）令质点在抛出时刻做圆周运动半径为地球半径为R，则
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$            ⑥
由⑤⑥两式解得：v=${v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$
答：（1）质点落地时竖直分速度v_y为v₀；
（2）地球表面重力加速度g为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$；
（3）推导第一宇宙速度公式为${v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$．

点评 能根据运动的合成与分解分析平抛运动的规律是正确解题的关键，掌握第一宇宙速度的物理意义．