题目内容
【题目】小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为（ ）
A. 4.7π
B. 3.6πC. 1.7πD. 1.4π
【答案】A
【解析】
设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有
解得：
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，有：
所以有
设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大圆轨道运行的周期是T2．对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有：
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足
(其中
)
联立解得：
(其中)
当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即为
A. 4.7π
与分析相符，故A项与题意相符；
B. 3.6π与分析不相符，故B项与题意不相符；
C. 1.7π与分析不相符，故C项与题意不相符；
D. 1.4π与分析不相符，故D项与题意不相符。
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