题目内容
【题目】如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为3l/4时将物块由静止开始释放，物块在斜面上做简谐运动且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的伸长量；
（2）求物块的振幅和弹簧的最大伸长量；
（3）使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数μ应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设物块处于平衡位置时弹簧的伸长量为Δl，则
解得
（2）物块做简谐运动的振幅为
由简谐运动的对称性可知，弹簧的最大伸长量为: 
（3）以物块的平衡位置为原点、沿斜面向下为位移正方向建立坐标系，设某时刻物块位移x为正，斜面受到弹簧沿斜面向下的拉力F、地面的水平向右的摩擦力f，如图所示。
由于斜面受力平衡，则有
在水平方向上有： 
；
在竖直方向上有： 
又
， 
联立可得
， 
为使斜面始终处于静止状态，结合牛顿第三定律，应满足
所以 
因-A≤x≤A，所以当-A时，上式右端达到最大值，于是有
【另解】 对由斜面、物块、弹簧组成的系统受力分析，受重力（M＋m）g、地面的支持力N和水平方向的静摩擦力f作用，如图所示。
建立图示直角坐标系，根据牛顿第二定律可知：
在水平方向上有：f=M×0＋macosα；
在竖直方向上有：N－（M＋m）g=M×0＋masinα
其中，静摩擦力f≤fm＝μN，
又因弹簧振子有kx=-ma且－A≤x≤A，
联立以上各式，解得： 
.
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