Question

一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v₀抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球的密度
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）小球做竖直上抛运动，由公式V=V₀+at可求得该星球表面的重力加速度g，忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解天体质量，从而算出星球的密度；
（2）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ；

解答：解：（1）小球做竖直上抛运动，则
由x=v₀t+

1

2

gt2解得：g=

2v0

t

星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，
则由mg=

GMm

r2

得M=

gR2

G

由于ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3v0

2πRGt

（2）物体在星球表面附近能做匀速圆周运动，其向心力由星球的吸引力提供，
则由

GMm

R2

=m

v2

R

v=

GM R

=

gR

=

2v0R t

答：（1）该星球的密度由于ρ=

3v0

2πRGt

（2）该星球的第一宇宙速度v═

2v0R t

点评：重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供．