题目内容

20．如图所示，在xOy平面内存在垂直平面向外大小为2.0×10-3T的匀强磁场，在坐标原点O放一粒子源，已知粒子源能向外发射质量m=6.4×10-27kg、速度=4.0×104m/s、带电量q=3.2×10-19C的正粒子（不计粒子重力）．
（1）若粒子源能在xOy平面内向各个不同的方向同时不断的发射带电粒子（不考虑粒子间相互作用力），求带电粒子所能到达区域的面积；
（2）若粒子源发射的某个带电粒子能经过坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{5}$）的A点，求此粒子可能的发射方向；
（3）若在xOy平面内以O为圆心，r=0.4m为半径做个圆，让从粒子源先后发射的两带电粒子同时经过圆上的同一点，求两粒子的最小发射时间隔△tmin．

分析 （1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨迹半径R，带电粒子所能到达的区域是以O为圆心、2R为半径的圆．
（2）根据几何关系可确定出粒子可能的发射方向．
（3）由几何关系可得：一个粒子所做圆周运动对应的圆心角为 θ1=2nπ+$\frac{π}{3}$，另一个粒子所做圆周运动对应的圆心角为 θ2=2mπ+$\frac{5π}{3}$，（m，n=0，1，2，…），由数学知识分析并求出最小的时间间隔．

解答 解：（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
带电粒子所能到达的区域是以O为圆心、2R为半径的圆，面积为 S=π（2R）2=4πR2  ②
由①②式代入数据解得 S=$\frac{16}{15}π$ m2．③
（2）如图所示，粒子若能打到A点，则由几何关系可确定v0的方向在第一象限与x轴正方向成75°角，或者在第三象限与x轴负方向成15°角．④
（3）不管打在圆上的哪一点，由几何关系可得：必定一个粒子轨迹圆弧对应的圆心角为 θ1=2nπ+$\frac{π}{3}$，（n=0，1，2，…）．④
另一个粒子轨迹圆弧对应的圆心角为 θ2=2mπ+$\frac{5π}{3}$，（m=0，1，2，…） ⑤
则 t1=nT+$\frac{T}{6}$  ⑥
   t2=mT+$\frac{5}{6}$T ⑦
又周期 T=$\frac{2πR}{v}$ ⑧
两粒子发射时间的间隔△t=t1-t2； ⑨
当n-m=1时发射时间隔最小，为△tmin=$\frac{2}{3}π×1{0}^{-5}$s≈2.1×10-5s （10）
答：
（1）带电粒子所能到达区域的面积为$\frac{16}{15}π$ m2．
（2）此粒子可能的发射方向为在第一象限与x轴正方向成75°角，或者在第三象限与x轴负方向成15°角．
（3）两粒子的最小发射时间隔△tmin为2.1×10-5s．

点评 此题考查粒子在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动，要掌握牛顿第二定律的应用，理解几何关系与运动半径联系，掌握由周期与圆心角来确定运动的时间方法．

练习册系列答案
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