Question

如图所示，半径为R内径很小的光滑半圆管竖直放置，和水平面相切与B处，两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时对管壁恰好没有作用力，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求：
（1）a、b两球落地点间的距离
（2）a球在刚好进入管道B处时对管壁的压力大小．

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律分别求出小球在最高点A的速度大小，离开A点做平抛运动，根据平抛运动的时间和速度分别求出水平位移，从而得出a、b两球落地点间的距离．
（2）根据动能定理求出a球经过B点时的速度，运用牛顿第二定律求出轨道对球的支持力，从而得出球对管壁的压力．

解答：解：（1）以a球为对象，设其到达最高点时的速度为v_a，根据向心力公式有：
mg=m

va2

R

            
所以：va=

gR

．
以b球为对象，设其到达最高点时的速度为v_b，根据向心力公式有：
mg-Fb=m

vb2

R

．
即

1

4

mg=m

vb2

R

所以：vb=

1

2

gR

a、b两球脱离轨道的最高点后均做一平抛运动，所以a、b两球的水平位移分别为：
xa=

gR

×

4R g

=2R
xb=vbt=

1

2

gR

×

4R g

=R
故a、b两球落地点间的距离△x=x_a-x_b=R．
（2）对a球从B到A的过程中有
mg?2R=

1

2

mv2-

1

2

mva2
F-mg=m

v2

R

F=6mg．
答：（1）a、b两球落地点间的距离为R．
（2）a球在刚好进入管道B处时对管壁的压力大小为6mg．

点评：解决本题的关键理清小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．