Question

19．如图，某透明介质制成的半球形空心球壳，球壳的外径与内径之比为k．一细光束沿平行于半球壳中轴线OO′的方向射向球壳的外表面上的A点，证明：若A点到球壳中轴线的距离等于内径，则不论k及介质的折射率为多少，该光束一定恰好在球壳内表面发生全反射．

Answer 1

分析 首先画出光路图，根据折射定律列式，再结合几何关系列式，最后得到从玻璃向空气折射的入射角的大小表达式．

解答 解：光路如图所示，光在A点折射，由折射定律：n=$\frac{sinα}{sinβ}$  ①

在△OAB中，由正弦定理：$\frac{r}{sinβ}=\frac{R}{sin（π-θ）}$  ②
由已知条件：k═$\frac{R}{r}$  ③
联立解得：sinβ=sinθ•sinα  ④
故θ=arcsin$\frac{1}{n}$，即如果A点到球壳中轴线的距离等于内径，则不论k及介质的折射率为多少，该光束一定恰好在球壳内表面发生全反射．
答：证明如上．

点评 本题考查全反射，关键是画出光路图，根据折射率的定义并结合几何关系列式分析，不难．